対数微分法
微分する関数 f( x )
が整式の累乗の和および積の形の場合，対数を取って微分すると累乗が倍数，積が和，商が差になり計算が簡単になる．このような微分方法を対数微分法という．
対数微分法の手順を y=f( x ) を使って詳しく説明する．
y=f( x ) の両辺の絶対値の自然対数をとる．（ただし，真数が正でなければならないので，
y=f(
x
)≠0
とする．）
log| y |=log|
f(
x
)
|
次に，両辺を x で微分する．
log| y |=log|
f(
x
)
|
合成関数の導関数の考え方により式を変形する．
-
(
d
d
y
log
|
y
|
)
d
y
d
x
=
-
(
d
d
f
(
x
)
log
|
f
(
x
)
|
)
d
d
x
f
(
x
)
1
y
d
y
d
x
=
1
f
(
x
)
f
′
(
x
)
d
y
d
x
=
y
f
(
x
)
f
′
(
x
)
d
y
d
x
=
f
′
(
x
)
となり，両辺の対数をとっても，導関数 f ′ ( x ) が求まることがわかる．
■具体的事例
y= ( x+3 ) 2 2x+1 の導関数を求める．
分母が0でないことより，
2x+1
≠0
，根号(ルート)
の中はゼロ以上より，
2x+1≧0
よって，
2x+1>0→x>−
1
2
この x
の範囲で，かつ真数が正より，
3x+1≠0
として，
両辺の絶対値の自然対数をとると，
log
y
=
log
(
x
+
3
)
2
2
x
+
1
log
y
=
2
log
x
+
3
−
1
2
log
2
x
+
1
この方程式の両辺を x で微分（ 対数の微分）して計算すると，
1
y
d
y
d
x
=
2
x
+
3
−
1
2
·
2
2
x
+
1
1
y
d
y
d
x
=
2
(
2
x
+
1
)
−
(
x
+
3
)
(
x
+
3
)
(
2
x
+
1
)
1
y
d
y
d
x
=
3
x
−
1
(
x
+
3
)
(
2
x
+
1
)
d
y
d
x
=
(
x
+
3
)
2
2
x
+
1
·
3
x
−
1
(
x
+
3
)
(
2
x
+
1
)
=
(
x
+
3
)
(
3
x
−
1
)
(
2
x
+
1
)
3
分数関数の微分の公式を使うより計算は簡単である．
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最終更新日：
2020年3月31日
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