対数微分法

対数微分法

微分する関数 f ( x ) が整式の累乗の和および積の形の場合,対数を取って微分すると累乗が倍数,積が和,商が差になり計算が簡単になる.このような微分方法を対数微分法という.

対数微分法の手順を y = f ( x ) を使って詳しく説明する.

y = f ( x ) の両辺の絶対値の自然対数をとる.(ただし,真数が正でなければならないので, y = f ( x ) 0 とする.)

log | y | = log | f ( x ) |

次に,両辺を x で微分する.

log | y | = log | f ( x ) |

合成関数の導関数の考え方により式を変形する.

( d d y log | y | ) d y d x = ( d d f ( x ) log | f ( x ) | ) d d x f ( x )

1 y d y d x = 1 f ( x ) f ( x ) d d x log | y | の計算はここを参照)

d y d x = y f ( x ) f ( x )

d y d x = f ( x )

となり,両辺の対数をとっても,導関数 f ( x ) が求まることがわかる. 

■具体的事例

y = ( x + 3 ) 2 2 x + 1  の導関数を求める.

分母が0でないことより, 2 x + 1 0  ,根号(ルート) の中はゼロ以上より, 2 x + 1 0  

よって, 2 x + 1 > 0 x > 1 2

この x の範囲ででは, x + 3 > 5 2 となり, y = x + 3 2 2 x + 1 > 0 である.よって,両辺の絶対値の自然対数をとる必要はなく,そのまま両辺の自然対数をとると

log y = log x + 3 2 2 x + 1

log y = 2 log x + 3 1 2 log 2 x + 1

この方程式の両辺を x で微分( 対数の微分)して計算すると

1 y d y d x = 2 x + 3 1 2 · 2 2 x + 1

1 y d y d x = 2 2 x + 1 x + 3 x + 3 2 x + 1

1 y d y d x = 3 x 1 x + 3 2 x + 1

d y d x = x + 3 2 2 x + 1 · 3 x 1 x + 3 2 x + 1

= x + 3 3 x 1 2 x + 1 3

分数関数の微分の公式を使うより計算は簡単である.

 

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最終更新日: 2025年4月25日