対数微分法

微分する関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ が整式の累乗の和および積の形の場合，対数を取って微分すると累乗が倍数，積が和，商が差になり計算が簡単になる．このような微分方法を対数微分法という．

対数微分法の手順を ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ を使って詳しく説明する．

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ の両辺の絶対値の自然対数をとる．（ただし，真数が正でなければならないので， ${\displaystyle y=f\left(x\right)\ne 0}$ とする．）

${\displaystyle log\left|y\right|=log\left|f\left(x\right)\right|}$

次に，両辺を ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle log\left|y\right|=log\left|f\left(x\right)\right|}$

合成関数の導関数の考え方により式を変形する．

${\displaystyle \left(\frac{d}{dy}log\left|y\right|\right)\frac{dy}{dx}=}$ ${\displaystyle \left(\frac{d}{df\left(x\right)}log\left|f\left(x\right)\right|\right)\frac{d}{dx}f\left(x\right)}$

${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f\left(x\right)}{f}^{\prime }\left(x\right)}}$ （ ${\displaystyle \frac{d}{dx}{\displaystyle log\left|y\right|}}$ の計算はここを参照）

${\displaystyle {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{f\left(x\right)}{f}^{\prime }\left(x\right)}}$

${\displaystyle {\displaystyle \frac{dy}{dx}=f^{\prime }\left(x\right)}}$

となり，両辺の対数をとっても，導関数 ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ が求まることがわかる．　

■具体的事例

${\displaystyle y=\frac{{\left(x+3\right)}^2}{\sqrt{2x+1}}}$  の導関数を求める．

分母が0でないことより， ${\displaystyle \sqrt{2x+1}\ne 0}$  ，根号(ルート) の中はゼロ以上より， ${\displaystyle 2x+1\geqq 0}$  

よって， ${\displaystyle 2x+1>0\to x>-\frac{1}{2}}$

この x の範囲ででは， ${\displaystyle x+3>\frac{5}{2}}$ となり， ${\displaystyle y=\frac{{\left(x+3\right)}^2}{\sqrt{2x+1}}>0}$ である．よって，両辺の絶対値の自然対数をとる必要はなく，そのまま両辺の自然対数をとると

${\displaystyle \log y=\log \frac{{\left(x+3\right)}^2}{\sqrt{2x+1}}}$

${\displaystyle \log y=2\log \left(x+3\right)-\frac{1}{2}\log \left(2x+1\right)}$

この方程式の両辺を x で微分（ 対数の微分）して計算すると

${\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{2}{x+3}-\frac{1}{2}\text{·}\frac{2}{2x+1}}$

${\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{2\left(2x+1\right)-\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(2x+1\right)}}$

${\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{3x-1}{\left(x+3\right)\left(2x+1\right)}}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{{\left(x+3\right)}^2}{\sqrt{2x+1}}\text{·}\frac{3x-1}{\left(x+3\right)\left(2x+1\right)}}$

${\displaystyle =\frac{\left(x+3\right)\left(3x-1\right)}{\sqrt{{\left(2x+1\right)}^3}}}$

分数関数の微分の公式を使うより計算は簡単である．

　

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最終更新日： 2025年4月25日