指数関数の底の変換の仕方

指数関数と対数関数の関係より

${\displaystyle x=a^{{log}_{a}x}}$

が導かれる．この関係式のx  の替わりに，${\displaystyle b^x}$ （ただし，${\displaystyle b>0}$ ）を用いると

${\displaystyle b^x=a^{{log}_a{b}^x}=a^{x{log}_{a}b}}$

となり，指数関数の底がb からa に変換される．${\displaystyle \log b^x=x\log b}$ の変換は，ここを参照のこと．

指数関数の底の変換の利用例としては，指数関数の微分がある．

■別の説明

指数関数 ${\displaystyle b^x}$の底を $b$ から $a$ に変換する．

${\displaystyle b^x=a^y}$　･･････(1)

と置き，この方程式を $y$ について解く

(1)の両辺の底が $a$ の対数を取る

${\displaystyle {\log }_a{b}^x={\log }_a{a}^y}$

${\displaystyle x{\log }_{a}b=y{\log }_{a}a}$ 　（∵ ${\displaystyle {\log }_a{R}^t=t{\log }_{a}R}$ ）

${\displaystyle x{\log }_{a}b=y}$ 　（∵${\displaystyle {\log }_{a}a=1}$ ）　･･････(2)

となる．

(2)を(1)代入する.

${\displaystyle b^x=a^{x{\log }_{a}b}}$

となり，指数関数 ${\displaystyle b^x}$の底が $b$ から $a$ に変換された．

 

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最終更新日： 2024年6月20日