自然対数の底 e の定義

　自然対数の底 e は以下に示す極限の式で定義されている．

$e=\underset{t\to 0}{lim}{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}$

${\displaystyle t=\frac{1}{s}}$ とおくと，${\displaystyle t\to 0}$ のとき ${\displaystyle s\to \infty }$ となる．よって，上式は

${\displaystyle e=\underset{s\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s}$  

と表すこともできる．

ｅ の値は，2.71828182845904･････････

e の特徴は，関係式 ${\displaystyle \frac{d}{dx}{e}^x=e^x}$  が成り立つことである．すなわち，${\displaystyle e}$ を底とする指数関数は，それ自身の導関数と等しくなる．

この自然対数の底e のことをネイピアの数ともいう．

■参考

自然対数の底 e は数学者オイラーが対数関数 ${\displaystyle y={log}_{a}x}$ の導関数を求める過程で発見した．

${\displaystyle y={log}_{a}x}$ を導関数の定義に従って計算する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$	${\displaystyle =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a\left(x+h\right)-{\log }_{a}x}{h}}$
	${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}{log}_a\left(\frac{x+h}{x}\right)}$
	${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}{log}_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}$
	${\displaystyle \frac{h}{x}=t}$とおくと，${\displaystyle h\to 0}$ のとき${\displaystyle t\to 0}$となる．よって
	${\displaystyle =\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{tx}{log}_a\left(1+t\right)}$
	${\displaystyle =\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{x}{log}_a{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$
	${\displaystyle =\frac{1}{x}\underset{t\to 0}{lim}{log}_a{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$
	${\displaystyle =\frac{1}{x}{log}_a\left\{\underset{t\to 0}{lim}{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}\right\}}$

t を0に近づけていったときの${\displaystyle {\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$ の値を計算してみる． 

${\displaystyle {\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$ の値は上の表よりある値に近づいていることがわかる．その値は，2.71828182845904･････････の無理数となり e の記号をつかって表す．

${\displaystyle e=\underset{t\to 0}{lim}{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$ より

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{log\left(1+x\right)}{x}=1}$  ⇒参照

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1}$  ⇒参照

の関係式が得られる．

■e  の最大の特徴

eを底とする指数関数は，それ自身の導関数と等しくなる．

${\displaystyle \begin{array}{ll}\frac{d}{dx}{e}^x\hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\hfill \\ \hfill & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^x\left(e^h-1\right)}{h}\hfill \\ \hfill & =e^x\left\{\underset{h\to 0}{lim}\frac{\left(e^h-1\right)}{h}\right\}\hfill \\ \hfill & =e^x·1\hfill \\ \hfill & =e^x\hfill \end{array}}$

参考文献：対数eの不思議　著者　堀場芳数　講談社

 

ホーム>>カテゴリー別分類>>その他>>e の定義

最終更新日： 2023年4月13日