自然対数の底 e の定義

• ${\displaystyle t\to +0}$ (右側極限)のとき ${\displaystyle s\to \infty }$ となる．よって，(1)は

  ${\displaystyle e=\underset{s\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s}$   ･･････(3)  

  となる．

• ${\displaystyle t\to -0}$ (左側極限)のとき， ${\displaystyle s\to -\infty }$ となる．よって，(3)は

  ${\displaystyle e=\underset{s\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s}$   ･･････(4)

  となる．

  (4)の右辺について， ${\displaystyle s=-r}$ とおくと， ${\displaystyle s\to -\infty }$ のとき， $r\to \infty$ となる．よって

  ${\displaystyle \underset{s\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s}$ ${\displaystyle =\underset{r\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{-r}\right)}^{-r}}$ ${\displaystyle =\underset{r\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{r}\right)}^{-r}}$ ${\displaystyle =\underset{r\to \infty }{\lim }{\left(\frac{r-1}{r}\right)}^{-r}}$

  ${\displaystyle =\underset{r\to \infty }{\lim }{\left(\frac{r}{r-1}\right)}^r}$

  さらに， ${\displaystyle r-1=q}$ とおくと， ${\displaystyle r\to \infty }$ のとき， $q\to \infty$ となる．よって

  ${\displaystyle =\underset{q\to \infty }{\lim }{\left(\frac{q+1}{q}\right)}^{q+1}}$ ${\displaystyle =\underset{q\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{q}\right)}^{q+1}}$ ${\displaystyle =\underset{q\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{q}\right)}^q\left(1+\frac{1}{q}\right)}$

  極限の性質より

  ${\displaystyle =\left\{\underset{q\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{q}\right)}^q\right\}\left\{\underset{q\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{q}\right)\right\}}$${\displaystyle =\left\{\underset{q\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{q}\right)}^q\right\}\cdot 1}$${\displaystyle =\underset{q\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{q}\right)}^q}$

  したがって

  ${\displaystyle \underset{s\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s=\underset{q\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{q}\right)}^q}$   ･･････(5)

(3)，(4)，(5)より

${\displaystyle e=\underset{s\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s=\underset{s\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s}$   ･･････(6)  

となる．