極限 x →0　（e^x -1)/x 

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1}$

■導出

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{log\left(1+x\right)}{x}=1}$ の関係式において，${\displaystyle 1+x=e^t\to x=e^t-1}$ とおくと，

${\displaystyle x\to 0}$  のとき${\displaystyle t\to 0}$ となり

${\displaystyle \underset{t\to 0}{\lim }\frac{\log e^t}{e^t-1}=1}$

${\displaystyle \underset{t\to 0}{\lim }\frac{t\log e}{e^t-1}=1}$

${\displaystyle \underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{e^t-1}=1}$　${\displaystyle \left(\because \log e=1\right)}$

よって，（両辺の逆数をとり，t をx に書き換える）

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年4月14日