偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\frac{2x^2+y^3}{x^3-3y^2}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-2x^4-3x^2{y}^3-12x{y}^2}{{\left(x^3-3y^2\right)}^2}}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-3y^4+3x^3{y}^2+12x^{2}y}{{\left(x^3-3y^2\right)}^2}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は商の導関数の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
商の導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =\frac{4x^4-12x{y}^2-6x^4-3x^2{y}^3}{{\left(x^3-3y^2\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{-2x^4-3x^2{y}^3-12x{y}^2}{{\left(x^3-3y^2\right)}^2}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．
商の導関数の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{3y^2\left(x^3-3y^2\right)-\left(-6y\right)\left(2x^2+y^3\right)}{{\left(x^3-3y^2\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{3x^3{y}^2-9y^4+12x^{2}y+6y^4}{{\left(x^3-3y^2\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{-3y^4+3x^3{y}^2+12x^{2}y}{{\left(x^3-3y^2\right)}^2}}$

　

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最終更新日： 2023年8月24日