偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=5\cos x{y}^2}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-5y^2\sin x{y}^2}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-10xy\sin x{y}^2}$

■ヒント

合成関数の微分と${\displaystyle \cos x}$の微分の公式を使う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=5\cdot \left(-\sin x{y}^2\right)\times \frac{\partial }{\partial x}\left(x{y}^2\right)}$

${\displaystyle =-5y^2\sin x{y}^2}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=5\cdot \left(-\sin x{y}^2\right)\times \frac{\partial }{\partial y}\left(x{y}^2\right)}$

${\displaystyle =2xy\left(-5\sin x{y}^2\right)}$

${\displaystyle =-10xy\sin x{y}^2}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日