偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\sin }^{-1}3x^2{y}^3}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{6x{y}^3}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{9x^2{y}^2}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

■ヒント

${\displaystyle {sin}^{-1}}$ の微分を，合成関数の微分によって行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

${\displaystyle u=3x^2{y}^3}$ とおくと，

${\displaystyle z={\sin }^{-1}u}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}}$

${\displaystyle u=3x^2{y}^3}$ を代入する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(3x^2{y}^3\right)}^2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=6x{y}^3}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}\cdot 6x{y}^3}$

${\displaystyle =\frac{6x{y}^3}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=9x^2{y}^2}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(3x^2{y}^3\right)}^2}}\cdot 9x^2{y}^2}$

${\displaystyle =\frac{9x^2{y}^2}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

　

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最終更新日： 2023年8月24日