微分　arcsinx 

${\displaystyle {\left({\sin }^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$  

■導出

${\displaystyle y={sin}^{-1}x}$  とすると，${\displaystyle x=siny}$  と書きかえることができる（アークサイン参照）．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$　　(${\displaystyle \because }$ 逆関数の微分) 

${\displaystyle =\frac{1}{cosy}}$    ${\displaystyle \left(\because x=siny\to \frac{dx}{dy}=cosy\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-{sin}^{2}y}}}$　${\displaystyle (\because -\frac{\pi }{2}\leqq y\leqq \frac{\pi }{2}\to cosy\geqq 0}$${\displaystyle \left.\to cosy=\sqrt{1-{sin}^{2}y}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$    

${\displaystyle \therefore {\left({sin}^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

 

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最終更新日： 2025年7月10日