偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\cos }^{-1}\frac{y}{x}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{x\sqrt{x^2-y^2}}}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{\sqrt{x^2-y^2}}}$

■ヒント

${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$ の微分を，合成関数の微分によって行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

${\displaystyle u=\frac{y}{x}}$ とおくと，

${\displaystyle z={\cos }^{-1}u}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}}$

${\displaystyle u=\frac{y}{x}}$ を代入する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=-\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{x^2}}}}$

両辺に${\displaystyle x}$をかける．

${\displaystyle =-\frac{x\cdot 1}{x\cdot \sqrt{1-\frac{y^2}{x^2}}}}$

${\displaystyle =-\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}}$

${\displaystyle u=\frac{y}{x}}$ を ${\displaystyle x}$と ${\displaystyle y}$でそれぞれ偏微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}}$

${\displaystyle =-\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{xy}{x^2\sqrt{x^2-y^2}}}$

${\displaystyle =\frac{y}{x\sqrt{x^2-y^2}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}}$

${\displaystyle =-\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}\cdot \frac{1}{x}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{x^2-y^2}}}$

　

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最終更新日： 2023年8月24日