偏微分とその値

■問題

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={sin}^{-1}\frac{x}{y}}$

■答

それぞれ，${\displaystyle {\displaystyle -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}}$，${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle -\frac{1}{2\sqrt{3}}}}}$

■ヒント

${\displaystyle {sin}^{-1}}$ の微分を，合成関数の微分によって行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

${\displaystyle u=\frac{x}{y}}$ とおくと

${\displaystyle f\left(x,y\right)={sin}^{-1}u}$

微分する．

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}}$

${\displaystyle u=\frac{x}{y}}$ を代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{x}{y}\right)}^2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2}}}}$

通分する．

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2}}}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle {\displaystyle =\frac{1}{y}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)\times \frac{\partial u}{\partial x}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}\times \left(\frac{1}{y}\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}}$ $$

$\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

$f_x\left(1,-2\right)$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{{\left(-2\right)}^2}{{\left(-2\right)}^2-1^2}}\times \left(\frac{1}{-2}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{3}}\times \left(\frac{1}{-2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{3}}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}$${\displaystyle {\displaystyle =-\frac{x}{y^2}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)\times \frac{\partial u}{\partial y}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}\times \left(-\frac{x}{y^2}\right)}$ $$ {\displaystyle =-\frac{x}{y^2}\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}}$$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=-\frac{x}{y^2}\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}}$

$$ {\displaystyle -\frac{x}{y^2}\sqrt{\frac{y^2}{y^2-x^2}}}$$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)=-\frac{1}{{\left(-2\right)}^2}\sqrt{\frac{{\left(-2\right)}^2}{{\left(-2\right)}^2-1^2}}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2\sqrt{3}}}$

　

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最終更新日： 2024年5月7日