偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ならば, ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

である．

■ヒント

${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle x,y}$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で 合成関数の微分を行う．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)·\left(-\frac{y}{x^2}\right)}$

${\displaystyle \left(-\frac{x^2}{y}\right)\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で 合成関数の微分を行う．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)·\left(\frac{1}{x}\right)}$

${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

以上から

${\displaystyle \left(-\frac{x^2}{y}\right)\frac{\partial z}{\partial x}=x\frac{\partial z}{\partial y}}$

${\displaystyle \frac{x^2}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

両辺に ${\displaystyle \frac{y}{x}}$ をかける． 

${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

 

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日