偏微分の基本公式(I)の導出：合成関数

$f (g (x, y))$ は1変数関数 $f (x)$ と2変数関数 $g (x, y)$ から成る合成関数であるとすると

$\frac{\partial}{\partial x} f (g (x, y)) = f^{'} (g (x, y)) \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$

が成り立つ．

$z = f (u)$ ， $u = g (x, y)$ とおくと

$\frac{\partial}{\partial x} f (g (x, y)) = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d z}{d u} \frac{\partial u}{\partial x}$

と表せる．

■導出

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h}$

を利用すると

$\frac{\partial}{\partial x} f (g (x, y))$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (g (x + h, y)) - f (g (x, y))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (g (x + h, y)) - f (g (x, y))}{g (x + h, y) - g (x, y)} \frac{g (x + h, y) - g (x, y)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (g (x + h, y)) - f (g (x, y))}{g (x + h, y) - g (x, y)} \lim_{h \to 0} \frac{g (x + h, y) - g (x, y)}{h}$

$= {\lim_{h \to 0} \frac{f (g (x + h, y)) - f (g (x, y))}{g (x + h, y) - g (x, y)}} \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$

$g (x + h, y) - g (x, y) = j$ とおくと

$g (x + h, y) = g (x, y) + j$

となり， $h \to 0$ のとき $j \to 0$ であるので

$\frac{\partial}{\partial x} f (g (x, y)) = {\lim_{j \to 0} \frac{f (g (x, y) + j) - f (g (x, y))}{j}} \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$

よって

$\frac{\partial}{\partial x} f (g (x, y)) = f^{'} (g (x, y)) \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2026年9月25日