偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=f\left(x^2-y^2\right)}$ ならば ${\displaystyle y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

である．

■ヒント

${\displaystyle z}$ を $x$，$y$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で 合成関数の微分を行う．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }\left(x^2-y^2\right)·2x}$

${\displaystyle \frac{1}{2x}·\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }\left(x^2-y^2\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で 合成関数の微分を行う．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }\left(x^2-y^2\right)·\left(-2y\right)}$

${\displaystyle \left(-\frac{1}{2y}\right)·\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }\left(x^2-y^2\right)}$

以上より

${\displaystyle \frac{1}{2x}·\frac{\partial z}{\partial x}=\left(-\frac{1}{2y}\right)·\frac{\partial z}{\partial y}}$

${\displaystyle \frac{1}{2x}·\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{2y}·\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

両辺に ${\displaystyle 2xy}$ をかける． 

${\displaystyle y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

 

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日