合成関数の偏微分

■問題

z=xtany , x= sin −1 2t , y= cos −1 2t  のとき， dz dt   を求めよ．

■答

1 t − sin −1 2t 2 t 2 1−4 t 2  

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

■解説

sin −1 の微分の公式より

dx dt = 2t ′ 1− 2t 2 = 2 1−4 t 2

cos −1 の微分の公式より

dy dt =− 2t ′ 1− 2t 2 =− 2 1−4 t 2

偏導関数の定義より， y   を定数とみなして x   で微分する．

z x = ∂ z ∂ x = tan y

偏導関数の定義より， x   を定数とみなして y   で微分する．

z y = ∂ z ∂ y = x   ·   1 cos 2 y = x cos 2 x

合成関数の偏微分の公式より

dz dt = z x dx dt + z y dy dt

上で求めた式をそれぞれ代入すると

=tany 2 1−4 t 2 + x cos 2 y − 2 1−4 t 2

= 2 1−4 t 2 sin cos −1 2t cos cos −1 2t − sin −1 2t 2t 2

= 2 1−4 t 2 1− cos 2 cos −1 2t 2t − sin −1 2t 4 t 2

= 2 1−4 t 2 1− 2t 2 2t − sin −1 2t 4 t 2

= 1 t − sin −1 2t 2 t 2 1−4 t 2

■別解

z=xtany に x= sin −1 2t ， y= cos −1 2t を代入する．

z= sin −1 2t tan cos −1 2t

よって

dz dt = d dt sin −1 2t tan cos −1 2t + sin −1 2t d dt tan cos −1 2t

= 2 1− 2t 2 sin −1 cos −1 2t cos cos −1 2t + sin −1 2t 1 cos cos −1 2t 2 − 2 1− 2t 2

= 2 1−4 t 2 ⋅ 1− cos cos −1 2t 2 2t − sin −1 2t 2t 2 ⋅ 2 1−4 t 2

= 2 1−4 t 2 ⋅ 1− 2t 2 2t − sin −1 2t 2t 2 ⋅ 2 1−4 t 2

= 1 t − sin −1 2t 2 t 2 1−4 t 2

　

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最終更新日： 2024年6月30日