合成関数の2次偏導関数

■問題

$z = f (x, y), x = u \cos θ - v \sin θ,$ $y = u \sin θ + v \cos θ$ のとき

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}}$

となることを示せ．

■ヒント

右辺を変形して左辺を導く． $x$ ， $y$ を $u$ ， $v$ でそれぞれ2回偏微分する．求めた式を合成関数の2次偏導関数の公式に代入する．

■解説

$x$ を $u$ で偏微分すると

$\frac{\partial x}{\partial u} = cos θ$

これを更に $u$ で偏微分すると

$\frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}} = \frac{\partial}{\partial u} (\frac{\partial x}{\partial u}) = \frac{\partial}{\partial u} (cos θ) = 0$

同様の手順で $y$ を $u$ で偏微分をすると

$\frac{\partial y}{\partial u} = sin θ$

更に， $y$ を $u$ で偏微分する．

$\frac{\partial^{2} y}{\partial u^{2}} = \frac{\partial}{\partial u} (\frac{\partial y}{\partial u}) = \frac{\partial}{\partial u} (sin θ) = 0$

よって， $\frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}}$ は合成関数の2次偏導関数の公式より

$\frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}} = f_{x x} {(\frac{\partial x}{\partial u})}^{2} + 2 f_{x y} \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} + f_{y y} {(\frac{\partial y}{\partial u})}^{2} + f_{x} \frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}} + f_{y} \frac{\partial^{2} y}{\partial u^{2}}$

$= f_{x x} {(cos θ)}^{2} + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} {(sin θ)}^{2} + f_{x} \cdot 0 + f_{y} \cdot 0$

$= f_{x x} {cos}^{2} θ + 2 f_{x y} sin θ cos θ + f_{y y} {sin}^{2} θ$ 　･･････(1)

更に， $v$ についても同様に偏微分すると

$\frac{\partial x}{\partial v} = - sin θ$

$\frac{\partial^{2} x}{\partial v^{2}} = \frac{\partial}{\partial v} (\frac{\partial x}{\partial v}) = \frac{\partial}{\partial v} (- sin θ) = 0$

$\frac{\partial y}{\partial v} = cos θ$

$\frac{\partial^{2} y}{\partial u^{2}} = \frac{\partial}{\partial u} (\frac{\partial y}{\partial u}) = \frac{\partial}{\partial v} (cos θ) = 0$

よって， $\frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}}$ は合成関数の2次偏導関数の公式より

$\frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}} = f_{x x} {(\frac{\partial x}{\partial v})}^{2} + 2 f_{x y} \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v}$ $+ f_{y y} {(\frac{\partial y}{\partial v})}^{2}$ $+ f_{x} \frac{\partial^{2} x}{\partial v^{2}}$ $+ f_{y} \frac{\partial^{2} y}{\partial v^{2}}$

$= f_{x x} {(- sin θ)}^{2}$ $+ 2 f_{x y} (- sin θ) cos θ$ $+ f_{y y} {(cos θ)}^{2}$ $+ f_{x} \cdot 0$ $+ f_{y} \cdot 0$

$= f_{x x} {sin}^{2} θ - 2 f_{x y} sin θ cos θ$ $+ f_{y y} {cos}^{2} θ$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$\frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}}$

$= (f_{x x} {cos}^{2} θ + 2 f_{x y} sin θ cos θ + f_{y y} {sin}^{2} θ)$ $+ (f_{x x} {sin}^{2} θ - 2 f_{x y} sin θ cos θ + f_{y y} {cos}^{2} θ)$

$= f_{x x} {cos}^{2} θ + 2 f_{x y} sin θ cos θ$ $+ f_{y y} {sin}^{2} θ$ $+ f_{x x} {sin}^{2} θ - 2 f_{x y} sin θ cos θ$ $+ f_{y y} {cos}^{2} θ$

$= ({cos}^{2} θ + {sin}^{2} θ) f_{x x}$ $+ ({sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ) f_{y y}$

$= f_{x x} + f_{y y}$

$= \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$

となる．したがって

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}}$

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最終更新日： 2023年9月1日