合成関数の2次偏導関数

■問題

$z = f (x, y), x = r \cos θ, y = r \sin θ$ のとき

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial^{2} z}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial z}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} z}{\partial θ^{2}}$

となることを示せ．

■ヒント

右辺を変形して左辺を導く．

$x$ ， $y$ を $r$ と $θ$ でそれぞれ2回偏微分する．求めた式を合成関数の1次偏導関数の公式と合成関数の2次偏導関数の公式に代入する．

■解説

$x$ を $r$ で偏微分すると

$\frac{\partial x}{\partial r} = cos θ$

となる．これを更に $r$ で偏微分すると

$\frac{\partial^{2} x}{\partial r^{2}} = \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial x}{\partial r}) = \frac{\partial}{\partial r} (cos θ) = 0$

となる．

同様の手順で $y$ を $r$ で偏微分を繰り返すと

$\frac{\partial y}{\partial r} = sin θ$

$\frac{\partial^{2} y}{\partial r^{2}} = \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial y}{\partial r}) = \frac{\partial}{\partial r} (sin θ) = 0$

となる．

$θ$ についても同様に偏微分すると

$\frac{\partial x}{\partial θ} = - r \sin θ$

$\frac{\partial^{2} x}{\partial θ^{2}} = \frac{\partial}{\partial θ} (\frac{\partial x}{\partial θ})$ $= \frac{\partial}{\partial θ} (- r \sin θ) = - r \cos θ$

$\frac{\partial y}{\partial θ} = r \cos θ$

$\frac{\partial^{2} y}{\partial θ^{2}} = \frac{\partial}{\partial θ} (\frac{\partial y}{\partial θ})$ $= \frac{\partial}{\partial θ} (- r \cos θ) = - r \sin θ$

以上の結果と合成関数の1次偏導関数の公式と合成関数の2次偏導関数の公式より

$\frac{\partial^{2} z}{\partial r^{2}} = f_{x x} {(\frac{\partial x}{\partial r})}^{2} + 2 f_{x y} \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial r} + f_{y y} {(\frac{\partial y}{\partial r})}^{2} + f_{x} \frac{\partial^{2} x}{\partial r^{2}} + f_{y} \frac{\partial^{2} y}{\partial r^{2}}$

$= f_{x x} {(\cos θ)}^{2} + 2 f_{x y} \cos θ \sin θ + f_{y y} {(\sin θ)}^{2} + f_{x} \cdot 0 + f_{y} \cdot 0$

$= f_{x x} \cos^{2} θ + 2 f_{x y} \sin θ \cos θ + f_{y y} \sin^{2} θ$ 　･･････(1)

$\frac{1}{r} \frac{\partial z}{\partial r} = \frac{1}{r} {f_{x} \frac{\partial x}{\partial r} + f_{y} \frac{\partial y}{\partial r}}$

$= \frac{1}{r} {f_{x} (r \cos θ) + f_{y} (r \sin θ)}$

$= \frac{1}{r} {r f_{x} \cos θ + r f_{y} \sin θ}$

$= f_{x} \cos θ + f_{y} \sin θ$ 　･･････(2)

$\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} z}{\partial θ^{2}} = \frac{1}{r^{2}} {f_{x x} {(\frac{\partial x}{\partial θ})}^{2} + 2 f_{x y} \frac{\partial x}{\partial θ} \frac{\partial y}{\partial θ} + f_{y y} {(\frac{\partial y}{\partial θ})}^{2} + f_{x} \frac{\partial^{2} x}{\partial θ^{2}} + f_{y} \frac{\partial^{2} y}{\partial θ^{2}}}$

$= \frac{1}{r^{2}} {f_{x x} {(- r \sin θ)}^{2} + 2 f_{x y} (- r \sin θ) \cdot r \cos θ + f_{y y} {(r \cos θ)}^{2} + f_{x} \cdot (- r^{2} \cos θ) + f_{y} \cdot (- r^{2} \sin θ)}$

$= \frac{1}{r^{2}} (r^{2} f_{x x} \sin^{2} θ - 2 r^{2} f_{x y} \sin θ \cos θ + r^{2} f_{y y} \cos^{2} θ - r^{2} f_{x} \cos θ - r^{2} f_{y} s i n θ)$

$= f_{x x} \sin^{2} θ - 2 f_{x y} \sin θ \cos θ + f_{y y} \cos^{2} θ - f_{x} \cos θ - f_{y} s i n θ$ 　･･････(3)

したがって，(1)，(2)，(3)より

$\frac{\partial^{2} z}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial z}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} z}{\partial θ^{2}}$

$= (f_{x x} \cos^{2} θ + 2 f_{x y} \sin θ \cos θ + f_{y y} \sin^{2} θ) + (f_{x} \cos θ + f_{y} \sin θ)$

$+ (f_{x x} \sin^{2} θ - 2 f_{x y} \sin θ \cos θ + f_{y y} \cos^{2} θ - f_{x} \cos θ - f_{y} s i n θ)$

$= f_{x x} (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) + f_{y y} (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ)$

$= f_{x x} + f_{y y}$

$= \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$

となり

が成り立つ．

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最終更新日： 2023年9月1日