波動方程式の変換

■問題

${\displaystyle y=f\left(x,t\right)}$ において，1次元の波動方程式

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}}$

に ${\displaystyle \xi =x-ct}$，${\displaystyle \eta =x+ct}$ なる変換を行うと

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}y}{\partial \eta \partial \xi }=0}$

となることを示せ．

■ヒント

最初に ${\displaystyle \xi =x-ct}$ ， ${\displaystyle \eta =x+ct}$ より， ${\displaystyle x}$，${\displaystyle t}$ を${\displaystyle \xi }$，${\displaystyle \eta }$ で表す．

${\displaystyle y}$ を ${\displaystyle \xi }$ で偏微分した後，更に ${\displaystyle \eta }$ で偏微分する． このとき，合成関数の偏導関数の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \xi =x-ct}$ 　･･････(1)

${\displaystyle \eta =x+ct}$ 　･･････(2)

とおく．

(1) を変形すると

${\displaystyle x=\xi +ct}$

これを (2) に代入して整理すると

${\displaystyle \eta =\xi +ct+ct}$

${\displaystyle t=\frac{\eta -\xi }{2c}}$ 　･･････(3)

となる．更に，これを (1) に代入し整理すると

${\displaystyle \xi =x-c·\frac{\eta -\xi }{2c}}$

${\displaystyle x=\frac{\xi +\eta }{2}}$ 　･･････(4)

となる．

(4)より${\displaystyle x}$を${\displaystyle \xi }$で偏微分すると

${\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \xi }=\frac{\partial }{\partial \xi }\left(\frac{\xi +\eta }{2}\right)=\frac{\partial }{\partial \xi }\left(\frac{1}{2}\xi +\frac{\eta }{2}\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$　･･････(5)

次に，(3)より${\displaystyle t}$を${\displaystyle \xi }$で偏微分すると

${\displaystyle \frac{\partial t}{\partial \xi }=\frac{\partial }{\partial \xi }\left(\frac{\eta -\xi }{2c}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial \xi }\left(\frac{\eta }{2c}-\frac{\xi }{2c}\right)=-\frac{1}{2c}}$　･･････(6)

同様の手順で ${\displaystyle x}$，${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle \eta }$ で偏微分をすると

${\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \eta }=\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{\xi +\eta }{2}\right)=\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{\xi }{2}+\frac{1}{2}\eta \right)}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$　･･････(7)

${\displaystyle \frac{\partial t}{\partial \eta }=\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{\eta -\xi }{2c}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{\eta }{2c}-\frac{\xi }{2c}\right)=\frac{1}{2c}}$　･･････(8)

(5)，(6)より ${\displaystyle y}$ を ${\displaystyle \xi }$ で偏微分すると（合成関数の偏導関数の公式を参照）

${\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \xi }=f_x\frac{\partial x}{\partial \xi }+f_t\frac{\partial t}{\partial \xi }}$

${\displaystyle =f_x\cdot \frac{1}{2}+f_t\left(-\frac{1}{2c}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{f}_x-\frac{1}{2}{f}_t}$　･･････(9)

これを更に ${\displaystyle \eta }$で偏微分すると

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}y}{\partial \eta \partial \xi }=\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{\partial y}{\partial \xi }\right)}$

(9)を代入する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{1}{2}{f}_x-\frac{1}{2c}{f}_t\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{1}{2}{f}_x\right)-\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{1}{2c}{f}_t\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial \eta }{f}_x-\frac{1}{2c}\frac{\partial }{\partial \eta }{f}_t}$　･･････(10)

ここで， ${\displaystyle f_x}$，${\displaystyle f_t}$ は，合成関数 ${\displaystyle y=f\left(x,t\right)}$ を ${\displaystyle x}$，${\displaystyle t}$ でそれぞれ偏微分したものであるから，どちらも合成関数である．

よって， ${\displaystyle \frac{\partial }{\partial \eta }{f}_x,\frac{\partial }{\partial \eta }{f}_t}$ は，どちらも合成関数の偏微分となるので

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial \eta }{f}_x=\frac{\partial }{\partial x}{f}_x·\frac{\partial x}{\partial \eta }+\frac{\partial }{\partial t}{f}_x·\frac{\partial t}{\partial \eta }}$

${\displaystyle =f_{xx}\frac{\partial x}{\partial \eta }+f_{xt}\frac{\partial t}{\partial \eta }}$

${\displaystyle =f_{xx}·\left(\frac{1}{2}\right)+f_{xt}·\left(\frac{1}{2c}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{f}_{xx}+\frac{1}{2c}{f}_{xt}}$　･･････(11)

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial \eta }{f}_t=\frac{\partial }{\partial x}{f}_t·\frac{\partial x}{\partial \eta }+\frac{\partial }{\partial t}{f}_t·\frac{\partial t}{\partial \eta }}$

${\displaystyle =f_{tx}\frac{\partial x}{\partial \eta }+f_{tt}\frac{\partial t}{\partial \eta }}$

${\displaystyle =f_{tx}·\left(\frac{1}{2}\right)+f_{tt}·\left(\frac{1}{2c}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{f}_{tx}+\frac{1}{2c}{f}_{tt}}$　･･････(12)

となる．(10)に(11)，(12)を代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{4}{f}_{xx}+\frac{1}{4c}{f}_{xt}-\frac{1}{4c}{f}_{tx}-\frac{1}{4c^2}{f}_{tt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{f}_{xx}+\frac{1}{4c}{f}_{xt}-\frac{1}{4c}{f}_{xt}-\frac{1}{4c^2}{f}_{tt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{f}_{xx}-\frac{1}{4c^2}{f}_{tt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\frac{1}{4c^2}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}}$

これに， ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}}$ を代入すると

となりる．

以上より

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}}$

に ${\displaystyle \xi =x-ct}$，${\displaystyle \eta =x+ct}$なる変換を行うと

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}y}{\partial \eta \partial \xi }=0}$

となる．

　

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最終更新日： 2023年9月5日