合成関数の偏導関数の導出 ∂/∂u(f(φ(u,v),ψ(u,v)))

合成関数の偏導関数の導出

2変数関 z=f( x,y ) x=φ( u,v ) , y=ψ( u,v ) ならば,偏導関数 z u

z u = f x x u + f y y du

となる.

■導出 ⇒別法

z u = lim h0 f( φ( u+h,v ),ψ( u+h,v )f( φ( u,v ),φ( u,v ) ) ) h

= lim h 0 f ( φ ( u + h , v ) , ψ ( u + h , v ) ) f ( φ ( u , v ) , ψ ( u + h , v ) ) + f ( φ ( u , v ) , ψ ( u + h , v ) ) f ( φ ( u , v ) , ψ ( u , v ) ) h

= lim h 0 f ( φ ( u + h , v ) , ψ ( u + h , v ) ) f ( φ ( u , v ) , ψ ( u + h , v ) ) φ ( u + h , v ) φ ( u , v ) φ ( u + h , v ) φ ( u , v ) h

+ lim h 0 f ( φ ( u , v ) , ψ ( u + h , v ) ) f ( φ ( u , v ) , ψ ( u , v ) ) ψ ( u + h , v ) ψ ( u , v ) ψ ( u + h , v ) ψ ( u , v ) h  ・・・・・・(1)

(1)の右辺第1項を考える.

(与式) = lim h 0 f ( φ ( u + h , v ) , ψ ( u + h , v ) ) f ( φ ( u , v ) , ψ ( u + h , v ) ) φ ( u + h , v ) φ ( u , v ) lim h 0 φ ( u + h , v ) φ ( u , v ) h

ここで

φ ( u + h , v ) φ ( u , v ) = i とおくと, φ( u+h,v )=φ( u,v )+i=x+i

h 0  ならば i 0 となる.

また,

ψ( u,v )=y であることより h 0  ならば ψ( u+h,v )y となる.

よって

(与式) = lim i0 f( x+i, ψ( u+h,v ) )f( x, ψ( u+h,v ) ) i lim h0 φ( u+h,v )φ( u,v ) h

= f x x u

(1)の右辺第2項を考える.

(与式) = lim h0 f( φ( u,v ),ψ( u+h,v ) )f( φ( u,v ),ψ( u,v ) ) ψ( u+h,v )ψ( u,v ) lim h0 ψ( u+h,v )ψ( u,v ) h

ここで

ψ ( u + h , v ) ψ ( u , v ) = j とおくと, ψ ( u + h , v ) = ψ ( u , v ) + j = y + j

h0  ならば j0 となる.さらに φ( u,v ) = x であることより

(与式) = lim j0 f( x ,y+j )f( x ,y ) j lim h0 ψ( u+h,v )ψ( u,v ) h

= f y y u

以上より

z u = f x x u + f y y u

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最終更新日: 2024年5月15日