合成関数の偏導関数の導出

2変数関 $z = f (x, y)$ で $x = φ (u, v)$ , $y = ψ (u, v)$ ならば，偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial u}$ は

$\frac{\partial z}{\partial u} = f_{x} \frac{\partial x}{\partial u} + f_{y} \frac{\partial y}{d u}$

となる．

■導出　⇒別法

$\frac{\partial z}{\partial u} = \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u + h, v), ψ (u + h, v) - f (φ (u, v), φ (u, v)))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u + h, v), ψ (u + h, v)) - f (φ (u, v), ψ (u + h, v)) + f (φ (u, v), ψ (u + h, v)) - f (φ (u, v), ψ (u, v))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u + h, v), ψ (u + h, v)) - f (φ (u, v), ψ (u + h, v))}{φ (u + h, v) - φ (u, v)} \frac{φ (u + h, v) - φ (u, v)}{h}$

$+ \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u, v), ψ (u + h, v)) - f (φ (u, v), ψ (u, v))}{ψ (u + h, v) - ψ (u, v)} \frac{ψ (u + h, v) - ψ (u, v)}{h}$ ･･････(1)

(1)の右辺第1項を考える．

(1)の右辺第1項 $= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u + h, v), ψ (u + h, v)) - f (φ (u, v), ψ (u + h, v))}{φ (u + h, v) - φ (u, v)} \lim_{h \to 0} \frac{φ (u + h, v) - φ (u, v)}{h}$

ここで

$φ (u + h, v) - φ (u, v) = i$ とおくと, $φ (u + h, v) = φ (u, v) + i = x + i$

$h \to 0$ ならば $i \to 0$ となる．

また，

$ψ (u, v) = y$ であることより $h \to 0$ ならば $ψ (u + h, v) \to y$ となる．

よって

(1)の右辺第1項 $= \lim_{i \to 0} \frac{f (x + i, ψ (u + h, v)) - f (x, ψ (u + h, v))}{i} \lim_{h \to 0} \frac{φ (u + h, v) - φ (u, v)}{h}$

$= f_{x} \frac{\partial x}{\partial u}$

(1)の右辺第2項を考える．

(1)の右辺第2項 $= \lim_{h \to 0} \frac{f (φ (u, v), ψ (u + h, v)) - f (φ (u, v), ψ (u, v))}{ψ (u + h, v) - ψ (u, v)} \lim_{h \to 0} \frac{ψ (u + h, v) - ψ (u, v)}{h}$

ここで

$ψ (u + h, v) - ψ (u, v) = j$ とおくと， $ψ (u + h, v) = ψ (u, v) + j = y + j$

$h \to 0$ ならば $j \to 0$ となる．さらに $φ (u, v) = x$ であることより

(1)の右辺第2項 $= \lim_{j \to 0} \frac{f (x, y + j) - f (x, y)}{j} \lim_{h \to 0} \frac{ψ (u + h, v) - ψ (u, v)}{h}$

$= f_{y} \frac{\partial y}{\partial u}$

以上より

$\frac{\partial z}{\partial u} = f_{x} \frac{\partial x}{\partial u} + f_{y} \frac{\partial y}{\partial u}$

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最終更新日： 2026年9月25日

合成関数の偏導関数の導出

■導出 ⇒別法

■導出　⇒別法