合成関数の偏導関数の導出

2変数関数 ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ で${\displaystyle x=\phi \left(u,v\right)}$,${\displaystyle y=\psi \left(u,v\right)}$ ならば，偏導関数 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}}$は

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=f_x\frac{\partial x}{\partial u}+f_y\frac{\partial y}{du}}$

となる．

■導出

変数${\displaystyle u}$ の値が${\displaystyle \Delta u}$ 変化すると，変数${\displaystyle x}$ と変数${\displaystyle y}$ がそれぞれ${\displaystyle \Delta x}$ ，${\displaystyle \Delta y}$ に変化し，${\displaystyle z}$の 変数が${\displaystyle \Delta z}$ 変化する．

曲面${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ は${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ の近傍(${\displaystyle \Delta x}$ と${\displaystyle \Delta y}$ の値が小さいとき)では平面とみなすことができる．

よって

${\displaystyle \Delta z=f_x\Delta x+f_y\Delta y}$

となる（ここを参照）．したがって

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}}$ ${\displaystyle =\underset{\Delta u\to 0}{lim}\frac{\Delta z}{\Delta u}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta u\to 0}{lim}\frac{f_x\Delta x+f_y\Delta y}{\Delta u}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta u\to 0}{lim}\left(f_x\frac{\Delta x}{\Delta u}+f_y\frac{\Delta y}{\Delta u}\right)}$

${\displaystyle =f_x\frac{\partial x}{\partial u}+f_y\frac{\partial y}{\partial u}}$

となる．

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最終更新日： 2023年1月21日