全微分

■問題

次の関数の微小変化 ${\displaystyle dx,dy}$ に対する全微分を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^2+7xy+y^2}$

■ヒント

与式を変数 ${\displaystyle x,y}$ でそれぞれ偏微分し，全微分の定義に当てはめる．

■答

与式を$x$ で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分）する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+7xy+y^2\right)}$${\displaystyle =2x+7y}$

与式を${\displaystyle y}$で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分）する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+7xy+y^2\right)}$${\displaystyle =7x+2y}$

以上からこの関数の全微分 ${\displaystyle df\left(x,y\right)}$ は

${\displaystyle df\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)dx+\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)dy}$${\displaystyle =\left(2x+7y\right)dx+\left(7x+2y\right)dy}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月22日