２変数関数の極値の問題

■問題

${\displaystyle f\left(x,y\right)=2x^3-2y^2-2xy}$ の極値を求めよ．

■答

${\displaystyle x=-\frac{1}{6}}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{12}}$ のとき極大値${\displaystyle \frac{1}{216}}$

■ヒント

関数の極値

■解き方

${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=6x^2-2y}$ ，${\displaystyle f_y\left(x,y\right)=-4y-2x}$ より，連立方程式

${\displaystyle \{\begin{array}{c}6x^2-2y=0\\ -4y-2x=0\end{array}}$

を解くと，${\displaystyle x=0}$ ，${\displaystyle y=0}$ ，または${\displaystyle x=-\frac{1}{6}}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{12}}$ を得る．

ところで，

${\displaystyle A=f_{xx}\left(x,y\right)=12x}$，${\displaystyle B=f_{xy}\left(x,y\right)=-2}$ ， ${\displaystyle C=f_{yy}\left(x,y\right)=-4}$ より

${\displaystyle D=B^2-AC=4+48x=4(1+12x)}$  

となる．したがって

${\displaystyle x=0}$ ，${\displaystyle y=0}$ のとき，${\displaystyle D=4>0}$ となり極値をとらない．

${\displaystyle x=-\frac{1}{6}}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{12}}$ のとき，${\displaystyle D=-4<0}$，${\displaystyle A=-2<0}$ だから，このとき${\displaystyle f\left(-\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{216}}$ は極大値である．

　

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最終更新日： 2024年5月28日