2変数関数の極値

2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ において，以下の定理が成り立つ．

■定理１

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)=f_y\left(a,b\right)=0}$とする．${\displaystyle A=f_{xx}\left(a,b\right)}$，${\displaystyle B=f_{xy}\left(a,b\right)}$，${\displaystyle C=f_{yy}\left(a,b\right)}$，${\displaystyle D=B^2-AC}$とおくと

(1) ${\displaystyle A>0}$，${\displaystyle D<0}$ならば${\displaystyle f\left(a,b\right)}$は極小値

(2) ${\displaystyle A<0}$，${\displaystyle D<0}$ならば${\displaystyle f\left(a,b\right)}$は極大値

(3) ${\displaystyle D>0}$ならば ${\displaystyle f\left(a,b\right)}$は極値でない

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■定理２

連立方程式${\displaystyle f\left(x,y\right)=0}$，${\displaystyle f_x\left(a,b\right)=0}$の解${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(a,b\right)}$に対して

${\displaystyle y\text{'}\text{'}=-\frac{f_{xx}\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}>0,\left(<0\right)}$

ならば${\displaystyle y}$は極小値（極大値）${\displaystyle b}$をとる．

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■定理３

条件${\displaystyle g\left(x,y\right)=0}$のもとで，${\displaystyle f\left(x,y\right)}$が点${\displaystyle \left(a,b\right)}$で極値をとるとする．このとき${\displaystyle g_x\left(x,y\right)\ne 0}$または${\displaystyle g_y\left(x,y\right)\ne 0}$ ならば，次式を満たす定数 ${\displaystyle \lambda }$が存在する．

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)+\lambda g_x\left(a,b\right)=0}$

${\displaystyle f_y\left(a,b\right)+\lambda g_y\left(a,b\right)=0}$ 

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最終更新日： 2023年1月21日