2変数関数の極値の証明 (3)

条件 g( x,y )=0 のもとで， f( x,y ) が点 ( a,b ) で極値をとるとする．このとき g x ( x,y )≠0 または g y ( x,y )≠0 ならば，次式を満たす定数 λ が存在する．

f x ( a , b ) + λ g x ( a , b ) = 0

f y ( a , b ) + λ g y ( a , b ) = 0

■証明

点 a , b で、関数 f ( x , y ) が、極値を持てば明らかに

f x ( a , b ) = 0 　　　　 f y ( a , b ) = 0 　　　　･･････(1)

でなければならない．今の場合は付帯条件 g( x,y )=0 があるから，

g ( a , b ) = 0

条件より g y ( x,y )≠0 であるから， y は x の陰関数である．

ここで g( x,y )=0 で定まる陰関数を y = φ x として， f( x,y ) へ代入して

f ( x , y ) = f ( x , φ x )

となる．この両辺を x で微分すれば，(1)より x = a で

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y dy dx = 0 　　　　･･････(2)

他方 g( x,y )=0 についても同じく両辺を x で微分して，

∂ g ∂ x + ∂ g ∂ y dy dx = 0 　　　　･･････(3)

ここで(2)，(3)から，

dy dx = − ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y = − ∂ g ∂ x ∂ g ∂ y

これを書き直して，

∂ f ∂ x ∂ g ∂ x = ∂ f ∂ y ∂ g ∂ y = − λ

とおけば，

∂ f ∂ x + λ ∂ g ∂ x = 0 ∂ f ∂ y + λ ∂ g ∂ y = 0

よって，

f x ( a , b ) + λ g x ( a , b ) = 0

f y ( a , b ) + λ g y ( a , b ) = 0

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最終更新日： 2018年3月9日