2変数関数の極値の証明 (3)
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2変数関数の極値の証明 (3)

条件 g( x,y )=0 のもとで, f( x,y ) が点 ( a,b ) で極値をとるとする.このとき g x ( x,y )0 または g y ( x,y )0 ならば,次式を満たす定数 λ が存在する.

f x ( a , b ) + λ g x ( a , b ) = 0

f y ( a , b ) + λ g y ( a , b ) = 0

■証明

a , b で、関数 f ( x , y ) が、極値を持てば明らかに

f x ( a , b ) = 0      f y ( a , b ) = 0     ・・・・・・(1)

でなければならない.今の場合は付帯条件 g( x,y )=0 があるから,

g ( a , b ) = 0

条件より g y ( x,y )0 であるから, y x の陰関数である.

ここで g( x,y )=0 で定まる陰関数を y = φ x として, f( x,y ) へ代入して

f ( x , y ) = f ( x , φ x )

となる.この両辺を x で微分すれば,(1)より x = a

f x + f y dy dx = 0     ・・・・・・(2)

他方 g( x,y )=0 についても同じく両辺を x で微分して,

g x + g y dy dx = 0     ・・・・・・(3)

ここで(2),(3)から,

dy dx = f x f y = g x g y

これを書き直して,

f x g x = f y g y = λ

とおけば,

f x + λ g x = 0 f y + λ g y = 0

よって,

f x ( a , b ) + λ g x ( a , b ) = 0

f y ( a , b ) + λ g y ( a , b ) = 0

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最終更新日: 2018年3月9日

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