2変数関数の極値の証明 (3)

条件${\displaystyle g\left(x,y\right)=0}$のもとで，${\displaystyle f\left(x,y\right)}$が点${\displaystyle \left(a,b\right)}$で極値をとるとする．このとき${\displaystyle g_x\left(x,y\right)\ne 0}$または${\displaystyle g_y\left(x,y\right)\ne 0}$ ならば，次式を満たす定数 ${\displaystyle \lambda }$が存在する．

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)+\lambda g_x\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle f_y\left(a,b\right)+\lambda g_y\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle =0}$

■証明

点${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で、関数${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ が、極値を持てば明らかに

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle =0}$　　${\displaystyle f_y\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle =0}$ 　　　　･･････(1)

でなければならない．今の場合は付帯条件${\displaystyle g\left(x,y\right)=0}$ があるから，

${\displaystyle g\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle =0}$

条件より${\displaystyle g_y\left(x,y\right)\ne 0}$ であるから，${\displaystyle y}$ は${\displaystyle x}$ の陰関数である．

ここで${\displaystyle g\left(x,y\right)=0}$で定まる陰関数を ${\displaystyle y=\phi \left(x\right)}$ として， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ へ代入して

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =f\left(x,\phi \left(x\right)\right)}$

となる．この両辺を ${\displaystyle x}$ で微分すれば，(1)より ${\displaystyle x=a}$ で

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =0}$ 　　　　･･････(2)

他方${\displaystyle g\left(x,y\right)=0}$ についても同じく両辺を${\displaystyle x}$ で微分して，

${\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =0}$ 　　　　･･････(3)

ここで(2)，(3)から，

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}}$ ${\displaystyle =-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial g}{\partial y}}}$

これを書き直して，

${\displaystyle \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial g}{\partial x}}}$ ${\displaystyle =\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial y}}}$ ${\displaystyle =-\lambda }$

とおけば，

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial g}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial g}{\partial y}=0\end{array}\right.}$

よって，

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)+\lambda g_x\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle f_y\left(a,b\right)+\lambda g_y\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle =0}$

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最終更新日： 2023年1月21日