2変数関数の極値の証明 (1)

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)=f_y\left(a,b\right)=0}$とする．${\displaystyle A=f_{xx}\left(a,b\right)}$,${\displaystyle B=f_{xy}\left(a,b\right)}$,${\displaystyle C=f_{yy}\left(a,b\right)}$,${\displaystyle D=B^2-AC}$ とおくと

・${\displaystyle A>0,D<0}$ならば${\displaystyle f\left(a,b\right)}$は極小値

・${\displaystyle A<0,D<0}$ならば${\displaystyle f\left(a,b\right)}$は極大値

・${\displaystyle D>0}$ならば ${\displaystyle f\left(a,b\right)}$は極値でない

■証明

${\displaystyle f_x\left(a,b\right)=f_y\left(a,b\right)=0}$  とする．･･････(1)

テイラーの定理

${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)=f\left(a,b\right)}$${\displaystyle +\frac{1}{1!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})f\left(a,b\right)}$${\displaystyle +\frac{1}{2!}(h\frac{\partial }{\partial x}+{k\frac{\partial }{\partial y})}^{2}f{\left(a,b\right)}^2}$${\displaystyle +\cdots }$${\displaystyle +\frac{1}{n!}(h\frac{\partial }{\partial x}{+k\frac{\partial }{\partial y})}^{n}f{(a,b)}^n}$${\displaystyle +R_{n+1}}$

${\displaystyle R_{n+1}}$${\displaystyle =\frac{1}{\left(n+1\right)!}(h\frac{\partial }{\partial x}{+k\frac{\partial }{\partial y})}^{n+1}f\left(a+\theta h,b+\theta k\right)}$ 　　（ただし, ${\displaystyle 0<\theta <1}$ ）

を ${\displaystyle n=1}$ の場合に適用すると

${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)-f\left(a,b\right)}$${\displaystyle =f\left(a,b\right)}$${\displaystyle +\frac{1}{1!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})f(a,b)}$${\displaystyle +R_2-f(a,b)}$

${\displaystyle =h\frac{\partial }{\partial x}f\left(a,b\right)+k\frac{\partial }{\partial y}f\left(a,b\right)+R_2}$

${\displaystyle =h{f}_x+k{f}_y+R_2}$

(1)の条件より

${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)-f\left(a,b\right)}$

${\displaystyle =R_2}$

${\displaystyle =\frac{1}{2!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f\left(a+\theta h,b+\theta k\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{h^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\left(a+\theta h,b+\theta k\right)\right.}$${\displaystyle +2hk\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}f\left(a+\theta h,b+\theta k\right)}$${\displaystyle \left.+k^2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}f\left(a+\theta h,b+\theta k\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{h^2{f}_{xx}\left(a+\theta h,b+\theta k\right)\right.}$${\displaystyle +2hk{f}_{xy}\left(a+\theta h,b+\theta k\right)}$${\displaystyle \left.+k^2{f}_{yy}\left(a+\theta h,b+\theta k\right)\right\}}$　　（ただし, ${\displaystyle 0<\theta <1}$ ）

ここで ${\displaystyle f_{xx}\left(a+\theta h,b+\theta k\right)=A}$ ， ${\displaystyle f_{xy}\left(a+\theta h,b+\theta k\right)=B}$ ，${\displaystyle f_{yy}\left(a+\theta h,b+\theta k\right)=C}$ とおくと

${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)-f\left(a,b\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{A{h}^2\right.\left.+2Bhk+C{k}^2\right\}}$

となり，

${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)-f\left(a,b\right)}$  の符号は，${\displaystyle A,B,C}$ の値が同時に0でないとき， ${\displaystyle A{h}^2+2Bhk+C{k}^2}$ の符号によって決まる．

${\displaystyle A{h}^2+2Bhk+C{k}^2}$  を平方完成すると，

${\displaystyle A{h}^2+2Bhk+C{k}^2}$${\displaystyle =A{\left(h+\frac{B}{A}k\right)}^2}$${\displaystyle -\left(\frac{B^2-AC}{A}\right)k^2}$ ･･････(2)

(2)より

${\displaystyle B^2-AC=D}$ とおくと

${\displaystyle A>0,D<0}$のとき

${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)-f\left(a,b\right)>0}$となる．

${\displaystyle A<0,D<0}$ のとき

${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)-f\left(a,b\right)<0}$となる．

また${\displaystyle \left|h\right|,\left|k\right|}$ の値が十分小さいとき，

と書き換えることができる．

以上より

${\displaystyle A=f_{xx}\left(a,b\right)}$,${\displaystyle B=f_{xy}\left(a,b\right)}$,${\displaystyle C=f_{yy}\left(a,b\right)}$,${\displaystyle D=B^2-AC}$とおくと

${\displaystyle A>0,D<0}$  ならば${\displaystyle f\left(a,b\right)}$ は極小値， ${\displaystyle A<0,D<0}$ ならば${\displaystyle f\left(a,b\right)}$ は極大値となる．

${\displaystyle D>0}$ のときについて考える．

これは，${\displaystyle A{h}^2+2Bhk+C{k}^2}$ を ${\displaystyle h}$ の2次式として考え，判別式${\displaystyle D^{\prime }}$ を利用すると，

${\displaystyle D^{\prime }={\left(2Bk\right)}^2-4AC{k}^2}$${\displaystyle =4k^2\left(B^2-AC\right)}$

となる．つまり${\displaystyle D}$ が正のとき${\displaystyle D\text{'}}$ は正となり，この2次式は解を持つことになるので，

${\displaystyle A{h}^2+2Bhk+C{k}^2}$

は正にも負にもなる．

よって${\displaystyle D>0}$  のときは，${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)-f\left(a,b\right)}$ の値が正にも負にもなるので，${\displaystyle f\left(a,b\right)}$ は極値でない．

また${\displaystyle D=0}$  のときは，${\displaystyle f\left(a,b\right)}$ が極値のときも，そうでないときもあり得るので，${\displaystyle D=0}$ のときはわからない．

　

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最終更新日： 2023年1月21日