2変数関数の極値の証明 (1)

2変数関数の極値の証明 (1)

f x ( a,b )= f y ( a,b )=0 とする. A= f xx ( a,b ) , B= f xy ( a,b ) , C= f yy ( a,b ) , D= B 2 AC とおくと

A>0,D<0 ならば f( a,b ) は極小値

A<0,D<0 ならば f( a,b ) は極大値

D>0 ならば f( a,b ) は極値でない

■証明

f x ( a,b )= f y ( a,b )=0  とする.・・・・・・(1)

テイラーの定理

f( a+h,b+k )=f( a,b ) + 1 1! ( h x +k y )f( a,b ) + 1 2! ( h x + k y ) 2 f ( a,b ) 2 + + 1 n! ( h x +k y ) n f (a,b) n + R n+1

R n+1 = 1 ( n+1 )! ( h x +k y ) n+1 f( a+θh,b+θk )   (ただし, 0 < θ < 1

n=1 の場合に適用すると

f ( a + h , b + k ) f ( a , b ) =f( a,b ) + 1 1! ( h x +k y )f(a,b) + R 2 f(a,b)

= h x f ( a , b ) + k y f ( a , b ) + R 2

= h f x + k f y + R 2

(1)の条件より

f( a+h,b+k )f( a,b )

= R 2

= 1 2 ! ( h x + k y ) 2 f ( a + θ h , b + θ k )

= 1 2 ( h 2 2 x 2 + 2 h k 2 x y + k 2 2 y 2 ) f ( a + θ h , b + θ k )

= 1 2 h 2 2 x 2 f ( a + θ h , b + θ k ) + 2 h k 2 x y f ( a + θ h , b + θ k ) + k 2 2 y 2 f ( a + θ h , b + θ k )

= 1 2 h 2 f x x ( a + θ h , b + θ k ) + 2 h k f x y ( a + θ h , b + θ k ) + k 2 f y y ( a + θ h , b + θ k )   (ただし, 0 < θ < 1

ここで  f xx ( a+θh,b+θk )=A f xy ( a+θh,b+θk )=B f yy ( a+θh,b+θk )=C とおくと

f ( a + h , b + k ) f ( a , b ) = 1 2 A h 2 + 2 B h k + C k 2

となり,

f( a+h,b+k )f( a,b )  の符号は, A,B,C の値が同時に0でないとき, A h 2 + 2 B h k + C k 2 の符号によって決まる.

A h 2 +2Bhk+C k 2  を平方完成すると,

A h 2 +2Bhk+C k 2 =A ( h+ B A k ) 2 ( B 2 AC A ) k 2  ・・・・・・(2)

(2)より

B 2 A C = D とおくと

A > 0 , D < 0 のとき

f ( a + h , b + k ) f ( a , b ) > 0 となる.

A < 0 , D < 0 のとき

f ( a + h , b + k ) f ( a , b ) < 0 となる.

また | h |,| k | の値が十分小さいとき,

A= f xx ( a+θh,b+θk )A= f xx ( a,b )

B= f xy ( a+θh,b+θk )B= f xy ( a,b )

C= f yy ( a+θh,b+θk )C= f yy ( a,b )

と書き換えることができる.

以上より

A= f xx ( a,b ) , B= f xy ( a,b ) , C= f yy ( a,b ) , D= B 2 AC とおくと

A > 0 , D < 0  ならば f( a,b ) は極小値, A < 0 , D < 0 ならば f( a,b ) は極大値となる.

D>0 のときについて考える.

これは, A h 2 +2Bhk+C k 2 h の2次式として考え,判別式 D を利用すると,

D = ( 2Bk ) 2 4AC k 2 =4 k 2 ( B 2 AC )

となる.つまり D が正のとき D' は正となり,この2次式は解を持つことになるので,

A h 2 +2Bhk+C k 2

は正にも負にもなる.

よって D>0  のときは, f( a+h,b+k )f( a,b ) の値が正にも負にもなるので, f( a,b ) は極値でない.

また D=0  のときは, f( a,b ) が極値のときも,そうでないときもあり得るので, D=0 のときはわからない.

 

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最終更新日: 2023年1月21日