2変数関数のテイラー（Taylor）の定理

2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ が領域${\displaystyle D}$で${\displaystyle n}$回連続偏微分可能であるり，点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ と点${\displaystyle \left(a+h,b+k\right)}$ を結ぶ線分が${\displaystyle D}$に含まれるとき

${\displaystyle f(a+h,b+k)=f(a,b)}$${\displaystyle +\frac{1}{1!}\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)f(a,b)}$ ${\displaystyle +\frac{1}{2!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f(a,b)}$ ${\displaystyle +\frac{1}{n!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n}f\left(a,b\right)+R_{n+1}}$ 

ただし

となる ${\displaystyle \theta }$ （ ${\displaystyle 0<\theta <1}$ ）が存在する．

⇒マクローリンの定理を用いた証明はこちら

⇒部分積分を用いた導出はこちら

⇒1変数のテイラーの定理はこちら

 

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最終更新日： 2023年10月17日