2変数関数のテイラー(Taylor)の定理の導出

2変数関数のテイラー(Taylor)の定理の導出

f( a+h,b+k )=f( a,b ) + 1 1! ( h x +k y )f( a,b ) + 1 2! ( h x + k y ) 2 f ( a,b ) + + 1 n! ( h x +k y ) n f (a,b) + R n+1

R n+1 = 1 ( n+1 )! ( h x +k y ) n+1 f( a+θh,b+θk )   (ただし, 0 < θ < 1

■導出

f( a+h,b+k )  は次のように表すことができる.

f( a+h,b+k )=f( a,b ) + a a+h f x ( x,b )dx + b b+k f y ( a+h,y )dy

この式を部分積分すると   積分はこちら

=f( a,b )+h f x ( a,b )+ 1 2 h 2 f xx ( a,b ) + 1 6 h 3 f xxx ( a,b )

++ 1 ( n1 )! h n1 ( x ) n1 f( a,b ) + 1 n! h n ( x ) n f( a,b )

+ a a+h { 1 ( n+1 )! ( a+hx ) n+1 } ( x ) n+1 f( x,b )dx

+k f y ( a+h,b )+ 1 2 k 2 f yy ( a+h,b ) + 1 6 k 3 f yyy ( a+h,b )

++ 1 ( n1 )! k n1 ( y ) n1 f( a+h,b ) + 1 n! k n ( y ) n f( a+h,b )

+ b b+k { 1 ( n+1 )! ( b+ky ) n+1 } ( y ) n+1 f( a+h,y )dy

となることがわかる.

次に f y ( a+h,b ) f yy ( a + h , b ) f yyy ( a + h , b ) ,・・・, ( y ) n1 f( a+h,b ) ( y ) n f( a+h,b ) について考える.

f y ( a+h,b ) は次のように書き換えることができる.

f y ( a+h,b )= f y ( a,b )+ a a+h x f y ( x,b )dx

同様に

f yy ( a+h,b )= f yy ( a,b )+ a a+h x f yy ( x,b )dx

f yyy ( a+h,b )= f yyy ( a,b )+ a a+h x f yyy ( x,b )dx

・・・・・・

( y ) n1 f( a+h,b )= ( y ) n1 f( a,b ) + a a+h ( y ) n1 f( x,b )dx

( y ) n f( a+h,b )= ( y ) n f( a,b ) + a a+h ( y ) n f( x,b )dx

となる.よって

f( a+h,b+k )

=f( a,b )+h f x ( a,b )+ 1 2 h 2 f xx ( a,b ) + 1 6 h 3 f xxx ( a,b )

++ 1 ( n1 )! h n1 ( x ) n1 f( a,b ) 1 n! h n ( x ) n f( a,b ) + a a+h { 1 ( n+1 )! ( a+hx ) n+1 } ( x ) n+1 f( x,b )dx

+k f y ( a,b )+ 1 2 k 2 f yy ( a,b )+ 1 6 k 3 f yyy ( a,b ) + + 1 ( n1 )! k n1 ( y ) n1 f( a,b ) + 1 n! k n ( y ) n f( a,b )

+k a a+h x f y ( x,b )dx + 1 2 k 2 a a+h x f yy ( x,b )dx + 1 6 k 3 a a+h x f yyy ( x,b )dx

+ + 1 ( n1 )! k n1 a a+h ( y ) n1 f( x,b )dx + 1 n! k n a a+h ( y ) n f( x,b )dx

+ b b + k 1 n + 1 ! b + k y n + 1 ( y ) n + 1 f ( a + h , y ) d y

さらに部分積分をすると   積分はこちら

f( a+h,b+k )

=f( a,b )+h f x ( a,b )+ 1 2 h 2 f xx ( a,b ) + 1 6 h 3 f xxx ( a,b ) ++ 1 ( n1 )! h n1 ( x ) n1 f( a,b ) + 1 n! h n ( x ) n f( a,b )

+ a a + h { 1 ( n + 1 ) ! ( a + h x ) n + 1 } ( x ) n + 1 f ( x , b ) d x

+k f y ( a,b )+ 1 2 k 2 f yy ( a,b )+ 1 6 k 3 f yyy ( a,b ) + + 1 ( n1 )! k n1 ( y ) n1 f( a,b ) + 1 n! k n ( y ) n f( a,b )

+k [ h f yx ( a,b )+ 1 2 h 2 f yxx ( a,b )+ + 1 ( n1 )! h n1 ( x ) n1 y f( a,b )

+ a a + h { 1 n ! ( a + h x ) n } ( x ) n y f ( x , b ) d x

+ 1 2 k 2 [ h f yyx ( a,b )+ 1 2 h 2 f yyxx ( a,b ) + + 1 ( n2 )! h n2 ( x ) n2 ( y ) 2 f( a,b )

+ a a + h { 1 ( n 1 ) ! ( a + h x ) n 1 } ( x ) n 1 ( y ) 2 f ( x , b ) d x

+ 1 6 k 3 [ h f yyyx ( a,b )+ 1 2 h 2 f yyyxx ( a,b ) + + 1 ( n3 )! h n3 ( x ) n3 ( y ) 3 f( a,b )

+ a a + h { 1 ( n 2 ) ! ( a + h x ) n 2 } ( x ) n 2 ( y ) 3 f ( x , b ) d x

+ +

+ 1 ( n1 )! k n1 [ h x ( y ) n1 f( a,b ) + a a+h { 1 2! ( a+hx ) 2 } ( x ) 2 ( y ) n1 f( x,b )dx ]

+ 1 n ! k n + a a + h a + h x ( x ) ( y ) n f ( x , b ) d x

+ b b + k { 1 ( n + 1 ) ! ( b + k y ) n + 1 } ( y ) n + 1 f ( a + h , y ) d y

この式を整理すると

=f( a,b )+h f x ( a,b )+k f y ( a,b ) + 1 2 h 2 f xx ( a,b ) +hk f yx ( a,b )+ 1 2 k 2 f yy ( a,b )

+ 1 6 h 3 f xxx ( a,b )+ 1 2 h 2 k f yxx ( a,b ) + 1 2 h k 2 f yyx ( a,b ) + 1 6 k 3 f yyy ( a,b )+

+ 1 n! h n ( x ) n f( a,b ) + 1 ( n1 )! h n1 k ( x ) n1 y f( a,b ) + 1 2( n2 )! h n2 k 2 ( x ) n2 ( y ) 2 f( a,b )

+ 1 6( n3 )! h n3 k 3 ( x ) n3 ( y ) 3 f( a,b ) + + 1 ( n1 )! h k n1 x ( y ) n1 +f( a,b ) + 1 n! k n ( y ) n f( a,b )

+ a a + h { 1 ( n + 1 ) ! ( a + h x ) n + 1 } ( x ) n + 1 f ( x , b ) d x

+ k a a + h { 1 n ! ( a + h x ) n } ( x ) n y f ( x , b ) d x

+ 1 2 k 2 a a + h { 1 ( n 1 ) ! ( a + h x ) n 1 } ( x ) n 1 ( y ) 2 f ( x , b ) d x

+ 1 6 k 3 a a + h { 1 ( n 2 ) ! ( a + h x ) n 2 } ( x ) n 2 ( y ) 3 f ( x , b ) d x +

+ 1 n 1 ! k n 1 a a + h { 1 2 ! ( a + h x ) 2 } ( x ) 2 ( y ) n 1 f ( x , b ) d x

+ 1 n ! k n a a + h { ( a + h x ) 2 } x ( y ) n f ( x , b ) d x

+ b b + k 1 ( n + 1 ) ! { ( b + k y ) n + 1 } ( y ) n + 1 f ( a + h , y ) d y

=f( a,b )+ 1 1! { h f x ( a,b )+k f y ( a,b ) } + 1 2! { h 2 f xx ( a,b ) +2hk f yx ( a,b )+ k 2 f yy ( a,b ) }

+ 1 3! { h 3 f xxx ( a,b )+3 h 2 k f yxx ( a,b ) +3h k 2 f yyx ( a,b ) + k 3 f yyy ( a,b ) }+

+ 1 n! { ( h x ) n f( a,b )+n ( h x ) n1 k y f( a,b ) + n( n1 ) 2! ( h x ) n2 ( k y ) 2 f( a,b )

+ n( n1 )( n2 ) 3! ( h x ) n3 ( k y ) 3 f( a,b ) ++ ( k y ) n f( a,b ) }

+ 1 ( n + 1 ) ! a a + h { ( a + h x ) n + 1 } ( x ) n + 1 f ( x , b ) d x

+ n + 1 k a a + h { ( a + h x ) n } ( x ) n y f ( x , b ) d x

+ ( n + 1 ) n 2 k 2 a a + h { ( a + h x ) n 1 } ( x ) n 1 ( y ) 2 f ( x , b ) d x

+ ( n + 1 ) n ( n 1 ) 3 ! k 3 a a + h { ( a + h x ) n 2 } ( x ) n 2 ( y ) 3 f ( x , b ) d x +

+ ( n + 1 ) n ( n 1 ) 4 3 n 1 ! k n 1 a a + h { ( a + h x ) 2 } ( x ) 2 ( y ) n 1 f ( x , b ) d x

+ ( n + 1 ) n ( n 1 ) 3 2 n ! k n a a + h { a + h x } x ( y ) n f ( x , b ) d x

+ b b + k 1 ( n + 1 ) ! { ( b + k y ) n + 1 } ( y ) n + 1 f ( a + h , y ) d y

=f( a,b )+ 1 1! ( h x +k y )f( a,b ) + 1 2! ( h x +k y ) 2 f( a,b )

+ 1 3! ( h x +k y ) 3 f( a,b ) + + 1 n! ( h x +k y ) n f( a,b )

+ 1 ( n + 1 ) ! r = 0 n n+1 C r k r a a + h { ( a + h x ) n r + 1 } ( x ) n r + 1 ( y ) r f ( x , b ) d x

+ b b + k { ( b + k y ) n + 1 } ( y ) n + 1 f ( a + h , y ) d y

ここで,

1 ( n + 1 ) ! r = 0 n n+1 C r k r a a + h { ( a + h x ) n r + 1 } ( x ) n r + 1 ( y ) r f ( x , b ) d x

+ b b + k { ( b + k y ) n + 1 } ( y ) n + 1 f ( a + h , y ) d y

R n+1 に置き換えると

=f( a,b ) + 1 1! ( h x +k y )f( a,b ) + 1 2! ( h x +k y ) 2 f( a,b ) + 1 3! ( h x +k y ) 3 f(a,b) + + 1 n! ( h x +k y ) n f( a,b ) + R n+1

となる.しかし R n+1

R n+1 = 1 ( n+1 )! ( h x +k y ) n+1 f( a+θh,b+θk )

である.



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最終更新日: 2023年10月16日