2変数関数の極値の証明 (2)

2変数関数の極値の証明 (2)

連立方程式 f( x,y )=0, f x ( a,b )=0 の解 ( x,y )=( a,b ) に対して

y = f xx a,b f y a,b >0, <0

ならば y は極小値(極大値) b をとる.

■証明

f( x,y )=0  によって定められる局所的な関数 y=φ( x ) の極値,つまり陰関数の極値を考える.

x=a  で極値 b=φ( a ) をとるとすると

陰関数の微分

dy dx = f x f y

d 2 y d x 2 = f xx f y 2 2 f xy f x f y + f yy f x 2 f y 3

f y 0

より y = φ ( x )  が極値をもつためには

dy dx =0  

でなければならない.よって

dy dx = f x ( a,b ) f y ( a,b ) =0  

この等式をみたすためには f x ( a,b )=0 でなければならない.

これを d 2 y d x 2 の式に代入すると

d 2 y d x 2 = f xx ( a,b ) f y 2 ( a,b ) f y 3 ( a,b ) = f xx ( a,b ) f y ( a,b )

したがって

y = f xx ( a,b ) f y ( a,b ) >0  のとき,極小値

y = f xx ( a,b ) f y ( a,b ) <0  のとき,極大値となる.


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最終更新日: 2023年1月21日