陰関数の微分

■${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を2変数の関数とするとき

2変数${\displaystyle x,y}$の間に 

${\displaystyle f\left(x,y\right)=0}$ 

のような関係がある場合，${\displaystyle y}$ を ${\displaystyle x}$ の関数（陰関数）と考えて，与式の両辺を ${\displaystyle x}$で微分すれば

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{d}{dx}0}$

すなわち

${\displaystyle f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$ 

となる． ${\displaystyle f_y\ne 0}$ のとき

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}}$

さらに

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}{f}_y^2-2f_{xy}{f}_x{f}_y+f_{yy}{f}_x^2}{f_y^3}}$ ⇒導出

となる． 

■ ${\displaystyle f\left(x,y,z\right)}$ の3変数の関数とするとき

${\displaystyle x,y,z}$ の間に

${\displaystyle f\left(x,y,z\right)=0}$

のような関係がある場合， ${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ の関数（陰関数）と考えると

${\displaystyle f\left(x,y,z\left(x,y\right)\right)=0}$

とあらわすことができる．この両辺を ${\displaystyle x}$ および ${\displaystyle y}$ で偏微分すれば

${\displaystyle f_x+f_z\frac{\partial z}{\partial x}=0}$

${\displaystyle f_y+f_z\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

となる． ${\displaystyle f_z\ne 0}$ のとき

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{f_x}{f_z}}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{f_y}{f_z}}$

となる．

 

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最終更新日： 2024年5月25日