陰関数の微分の導出

陰関数の微分の導出

f( x,y )=0  において, f y 0 ならば

d 2 y d x 2 = f xx f y 2 2 f xy f x f y + f yy f x 2 f y 3

■導出

分数関数の微分より

d 2 y d x 2 = d dx ( f x f y )= d f x dx f y f x d f y dx f y 2  ・・・・・・(1)

f x , f y  は,ともに x y の関数で, y x の関数なので

d f x dx = f x x + f x y dy dx

= f xx + f xy ( f x f y )

= f xx f y f xy f x f y

d f y dx = f y x + f y y dy dx

= f xy + f yy ( f x f y )        f y x = f x y       ここを参照

= f xy f y f yy f x f y

これらを(1)に代入すると

d 2 y d x 2 = f xx f y f xy f x f y f y f x f xy f y f yy f x f y f y 2

= ( f xx f y f xy f x ) f y f x ( f xy f y f yy f x ) f y 3

= f xx f y 2 2 f xy f x f y + f yy f x 2 f y 3

となる.

 

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最終更新日: 2023年1月21日