加法定理の問題の別解

■問題

${\displaystyle \text{sin18}°}$ の値を求めよ．

■答

${\displaystyle sin18°=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

■ヒント

底角が ${\displaystyle 72°}$ の二等辺三角形に図のような補助線を引いて， ${\displaystyle 18°}$ の角を作る．

 

■解き方

${\displaystyle \text{AB}=1}$ ， ${\displaystyle \text{BC}=x}$

とおく．

${\displaystyle \angle \text{ABC}}$ に二等分線を引き， ${\displaystyle \text{AC}}$ と交わる点を ${\displaystyle \text{D}}$ とする．

${\displaystyle △\text{BCD}}$ ， ${\displaystyle △\text{ABD}}$ が二等辺三角形より， (二等辺三角形である理由)

${\displaystyle \text{BD}=x}$ ， ${\displaystyle \text{AD}=x}$

また， ${\displaystyle \text{AB}=\text{AC}=1}$ より

${\displaystyle \text{DC}=1-x}$

となる．

${\displaystyle \angle \text{BAC}}$ に二等分線を引き， ${\displaystyle \text{BC}}$ と交わる点を ${\displaystyle \text{E}}$ とする．

以上をまとめた図が下の三角形である．

　　 

2角が等しいことより

${\displaystyle △\text{ABC}\backsim △\text{BCD}}$

である．よって

${\displaystyle \frac{\text{BC}}{\text{AB}}=\frac{\mathrm{CD}}{\text{BC}}}$

${\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}}$

${\displaystyle x^2=1-x}$

${\displaystyle x^2+x-1=0}$ …(1)

${\displaystyle x>0}$ より(1) の解は，解の公式を用いると

${\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

となる．

${\displaystyle sin18°=\frac{\text{BE}}{\text{AB}}}$

${\displaystyle \text{BE}=\frac{1}{2}\text{BC}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{-1+5}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

したがって

${\displaystyle sin18°=\frac{\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}{1}}$ ${\displaystyle =\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

 

■ ${\displaystyle △\text{BCD}}$ と ${\displaystyle △\text{ABD}}$ が二等辺三角形の理由

${\displaystyle \text{BD}}$ は ${\displaystyle \angle \text{ABC}}$ の二等分線であるので， ${\displaystyle \angle \text{CBD}}$ は ${\displaystyle \text{36}°}$

${\displaystyle \angle \text{BDC}=180°-72°-36°}$ ${\displaystyle =72°}$

したがって

${\displaystyle \angle \text{BCD}=\angle \text{BDC}}$

となり ${\displaystyle △\text{BCD}}$ は二等辺三角形である．

　

${\displaystyle \text{BD}}$ は ${\displaystyle \angle \text{ABC}}$ の二等分線であるので， ${\displaystyle \angle \text{ABD}}$ は ${\displaystyle \text{36}°}$ ．したがって

${\displaystyle \angle \text{ABD}=\angle \text{BAD}}$

となり ${\displaystyle △\text{ABD}}$ は 二等辺三角形である．

 

 

 

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最終更新日： 2023年4月15日