加法定理の問題

■問題

$\sin α + \sin β = \frac{1}{2}$ ， $\cos α + \cos β = \frac{2}{3}$ のとき， $\cos (α - β)$ の値を求めよ．

$\cos (α - β) = - \frac{47}{72}$

加法定理の $cos (α - β) = sin α sin β + cos α cos β$ を利用する．

条件の式の両辺を平方して加えると

${(sin α + sin β)}^{2} + {(cos α + cos β)}^{2}$ $= {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}$

${sin}^{2} α + 2 sin α sin β + {sin}^{2} β + {cos}^{2} α$ $+ 2 cos α cos β + {cos}^{2} β = \frac{25}{36}$

${sin}^{2} α + {cos}^{2} α + {sin}^{2} β + {cos}^{2} β$ $+ 2 (sin α sin β + cos α cos β) = \frac{25}{36}$

${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ ， $cos (α - β) = sin α sin β + cos α cos β$ より

$1 + 1 + 2 cos (α - β) = \frac{25}{36}$

$2 cos (α - β) = \frac{25}{36} - \frac{72}{36}$

$cos (α - β) = - \frac{47}{36} \times \frac{1}{2}$

$cos (α - β) = - \frac{47}{72}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月2日