三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

${\displaystyle tan\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}}$　${\displaystyle \left[\frac{\pi }{2}\leqq \theta <\pi \right]}$

■答

${\displaystyle \frac{2}{3}\pi }$

■解説

${\displaystyle \theta -\frac{\pi }{3}=\alpha }$　･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle tan\alpha =\sqrt{3}}$　･･････(2)

となる．

(1)の関係と${\displaystyle \theta }$ の範囲から，${\displaystyle \alpha }$ の範囲を求める．

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta <\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \theta -\frac{\pi }{3}<\frac{2}{3}\pi }$

よって，${\displaystyle \alpha }$の範囲は

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \alpha <\frac{2}{3}\pi }$　･･････(3)

となる．

(2)を満たす${\displaystyle \alpha }$ を求める(図の${\displaystyle {\alpha }_1}$ ，${\displaystyle {\alpha }_2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle {\alpha }_1=\frac{\pi }{3},{\alpha }_2=\frac{5}{3}\pi }$

(3)より，${\displaystyle {\alpha }_2}$は範囲外であり，${\displaystyle \theta =\alpha +\frac{\pi }{3}}$ なので

求める角${\displaystyle \theta }$は

${\displaystyle \theta =\frac{2}{3}\pi }$

となる．

　

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終更新日： 2024年5月31日