三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle \sqrt{2}\cos \left(\theta +\pi \right)=-1}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

■ヒント

$\cos \theta =c$ の解き方

${\displaystyle \theta +\pi }$ を ${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle \theta +\pi =t}$ ･･････(1)

置くと，与式は

${\displaystyle \sqrt{2}\cos t=-1}$

${\displaystyle \cos t=-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ ･･････(2)

となる．

(1)より， ${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$

${\displaystyle \pi \leqq \theta +\pi <3\pi }$

${\displaystyle \pi \leqq t<3\pi }$

${\displaystyle t}$ の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle t}$ は

${\displaystyle t=\frac{5}{4}\pi ,\frac{3}{4}\pi +2\pi }$

${\displaystyle t=\frac{5}{4}\pi ,\frac{11}{4}\pi }$

${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle \theta }$ に戻す．

${\displaystyle \theta +\pi =\frac{5}{4}\pi ,\frac{11}{4}\pi }$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

　

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最終更新日： 2025年3月1日