指数関数の係数を求める問題

■問題

関数${\displaystyle f(x)=A{e}^{-bx}}$ が次を満たすとき，$A$ ，$b$ を求めよ．

${\displaystyle f(0)=4}$，${\displaystyle f(2)=1}$

■答

${\displaystyle A=4}$，${\displaystyle b=log2}$

■解説

${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle =A{e}^{-b\cdot 0}}$${\displaystyle =A{e}^0}$${\displaystyle =A}$　･･････(1)

よって，${\displaystyle f(0)=4}$より

${\displaystyle A=4}$　･･････(2)

(2)を用いると

${\displaystyle f(2)}$${\displaystyle =4e^{-2b}}$${\displaystyle =\frac{4}{e^{\text{2}b}}}$　･･････(3)

よって，${\displaystyle f(2)=1}$より

${\displaystyle \frac{4}{e^{\text{2}b}}=1}$，${\displaystyle 4=e^{\text{2}b}}$，${\displaystyle 2\times 2=(e^b)\times (e^b)}$，${\displaystyle 2=e^b}$　･･････(4)

(4)の両辺の自然対数をとる．

${\displaystyle log2}$${\displaystyle =log{e}^b}$

${\displaystyle =bloge}$

${\displaystyle =b}$

よって

${\displaystyle b=log2}$

　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日