指数関数の係数を求める問題

■問題

関数 ${\displaystyle f(x)=A{e}^{-bx}}$ が次を満たすとき， $A$ ， $b$ を求めよ．

${\displaystyle f(0)=4}$ ， ${\displaystyle f(2)=1}$

■答

${\displaystyle A=4}$ ， ${\displaystyle b=log2}$

■解説

${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle =A{e}^{-b\cdot 0}}$ ${\displaystyle =A{e}^0}$ ${\displaystyle =A}$ ･･････(1)

よって， ${\displaystyle f(0)=4}$ より

${\displaystyle A=4}$ ･･････(2)

(2)を用いると

${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle =4e^{-2b}}$ ${\displaystyle =\frac{4}{e^{\text{2}b}}}$ ･･････(3)

よって， ${\displaystyle f(2)=1}$ より

${\displaystyle \frac{4}{e^{\text{2}b}}=1}$

${\displaystyle 4=e^{\text{2}b}}$

${\displaystyle 2^2={(e^b)}^2}$ ここを参照

${\displaystyle 2=e^b}$ ･･････(4)

(4)の両辺の自然対数をとる．

${\displaystyle log2}$ ${\displaystyle =log{e}^b}$

${\displaystyle =bloge}$ 対数の性質を参照

${\displaystyle =b}$

よって

${\displaystyle b=log2}$

　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月18日