基本的な指数の問題

■問題

${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}=}$ ${\displaystyle 3}$ のとき，次の値を求めよ．

${\displaystyle x+x^{-1}}$

■答

${\displaystyle x+x^{-1}=7}$

■解き方

求める式の指数が与式の指数の2倍になっている．与式の両辺を2乗すると

${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)}^2=3^2}$

左辺に乗法の公式を適応する．

${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)}^2}$ ${\displaystyle ={\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^2+2\left(x^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+{\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^2}$

各項に指数法則を適用する．

${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^2}$${\displaystyle =x^{\left(\frac{1}{2}\right)\times 2}}$${\displaystyle =x^1}$

${\displaystyle \left(x^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}$${\displaystyle =x^{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)}}$${\displaystyle =x^0}$

${\displaystyle {\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^2}$${\displaystyle =x^{\left(-\frac{1}{2}\right)\times 2}}$${\displaystyle =x^{-1}}$

つまり，与式は

${\displaystyle x+2x^0+x^{-1}=3^2=9}$

と式変形できる．

0が指数の場合は

${\displaystyle x^0=1}$

が成り立つので

${\displaystyle x+2+x^{-1}=9}$

となる．２を右辺へ移項する．

${\displaystyle x+x^{-1}=7}$

値を求めることができた．

　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月27日