重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(2x-y\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:-3\leqq x\leqq 3,0\leqq y\leqq 3\right)}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ から変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ に関して積分する．

■答

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(2x-y\right)dxdy}$

領域 ${\displaystyle D}$ よろ変数 x と変数 y 積分範囲を決定する．

${\displaystyle ={\int }_{-3}^3\left({\int }_0^3\left(2x-y\right)dy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^3\left(2x-y\right)dy}$ の計算をする．${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する ．

${\displaystyle ={\int }_{-3}^3{\left[2xy-\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^{3}dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-3}^3\left(6x-\frac{9}{2}-0\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-3}^3\left(6x-\frac{9}{2}\right)dx}$

積分結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

${\displaystyle ={\left[3x^2-\frac{9}{2}x\right]}_{-3}^3}$

${\displaystyle =27-\frac{27}{2}-\left(27+\frac{27}{2}\right)}$

${\displaystyle =27-\frac{27}{2}-27-\frac{27}{2}}$

${\displaystyle =-27}$

 

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最終更新日： 2023年8月2日