重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }x{y}^{2}dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq 2,-2\leqq y\leqq 1\right)}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ よろ変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ に関して積分する．

■答

${\displaystyle \underset{D}{\iint }x{y}^{2}dxdy}$ 

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する．

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_0^2\left({{\displaystyle \int }}_{-2}^{1}x{y}^{2}dy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{-2}^{1}x{y}^{2}dy}$ の計算をする．${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^2{\left[\frac{1}{3}x{y}^3\right]}_{-2}^{1}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left\{\frac{1}{3}x·1^2-\frac{1}{3}x·{\left(-2\right)}^3\right\}dx}$ 

${\displaystyle ={\int }_0^2\left\{\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x·\left(-8\right)\right\}dx}$ 

${\displaystyle ={\int }_0^2\left\{\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}x\right\}dx}$ 

${\displaystyle ={\int }_0^2\frac{9}{3}xdx}$ 

${\displaystyle ={\int }_0^{2}3xdx}$ 

積分結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

${\displaystyle ={\left[\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^2}$ 

${\displaystyle =\frac{3}{2}·2^2-\frac{3}{2}·0^2}$ 

${\displaystyle =6-0}$ 

${\displaystyle =6}$ 

　

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最終更新日： 2023年8月2日