重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x-2xy+3y\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:-1\leqq x\leqq 1,-2\leqq y\leqq 0\right)}$

■答

${\displaystyle -12}$ 

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数${\displaystyle x}$と変数${\displaystyle y}$の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x-2xy+3y\right)dxdy}$ 

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する． 

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_{-1}^1\left\{{{\displaystyle \int }}_{-2}^0\left(x-2xy+3y\right)\right\}dy)dx}$  

${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\left[xy-x{y}^2+\frac{3}{2}{y}^2\right]}_{-2}^{0}dx}$ 

${\displaystyle ={\int }_{-1}^1\left\{0-\left(-2x-4x+6\right)\right\}dx}$ 

${\displaystyle ={\int }_{-1}^1\left\{0-\left(-6x+6\right)\right\}dx}$ 

${\displaystyle ={\int }_{-1}^1\left(6x-6\right)dx}$ 

重積分の基本公式から 6をくくりだす． 

${\displaystyle =6{\int }_{-1}^1\left(x-1\right)dx}$ 

積分結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する． 

${\displaystyle =6{\left[\frac{1}{2}{x}^2-x\right]}_{-1}^1}$ 

${\displaystyle =6\left[\frac{1}{2}·1^2-1-\left\{\frac{1}{2}·{\left(-1\right)}^2+1\right\}\right]}$ 

${\displaystyle =6\left\{\frac{1}{2}-1-\left(\frac{1}{2}+1\right)\right\}}$ 

${\displaystyle =6\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1\right)}$ 

${\displaystyle =6·\left(-2\right)}$ 

${\displaystyle =-12}$ 

 

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最終更新日： 2023年8月2日