重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x^2+y^2\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:-2\leqq x\leqq 2,-2\leqq y\leqq 2\right)}$

■答

${\displaystyle =\frac{128}{3}}$ 

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x^2+y^2\right)dxdy}$

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 x と変数y 積分範囲を決定する．

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2\left\{{\int }_{-2}^2\left(x^2+y^2\right)dy\right\}dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{-2}^2\left(x^2+y^2\right)dy}$ の計算をする．${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する．

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2{\left[x^{2}y+\frac{1}{3}{y}^3\right]}_{-2}^{2}dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2\left\{2x^2+\frac{8}{3}-\left(-2x^2-\frac{8}{3}\right)\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2\left(2x^2+\frac{8}{3}+2x^2+\frac{8}{3}\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2\left(4x^2+\frac{16}{3}\right)dx}$

重積分の基本公式から4を積分記号の前にくくりだす． 

${\displaystyle =4{\int }_{-2}^2\left(x^2+\frac{4}{3}\right)dx}$ 

積分結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する． 

${\displaystyle =4{\left[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{4}{3}x\right]}_{-2}^2}$ 

${\displaystyle =4\left\{\frac{8}{3}+\frac{8}{3}-\left(-\frac{8}{3}-\frac{8}{3}\right)\right\}}$ 

${\displaystyle =4\left(\frac{8}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}\right)}$ 

${\displaystyle =4·\frac{8}{3}·4}$ 

${\displaystyle =\frac{128}{3}}$ 

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月2日