重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }sin\left(x+y\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq \pi ,0\leqq y\leqq \pi \right)}$

■答

${\displaystyle 0}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■答

${\displaystyle \underset{D}{\iint }sin\left(x+y\right)dxdy}$

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する．

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left\{{\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dy\right\}dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{\pi }\sin \left(x+y\right)dy}$の計算をする．${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する．

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{\left[-cos\left(x+y\right)\right]}_0^{\pi }dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left\{-cos\left(x+\pi \right)+cos\left(x+0\right)\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left\{cosx-cos\left(x+\pi \right)\right\}dx}$

積分結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

${\displaystyle ={\left[sinx-sin\left(x+\pi \right)\right]}_0^{\pi }}$

${\displaystyle =sin\pi -sin\left(\pi +\pi \right)}$${\displaystyle -\left\{sin0-sin\left(0+\pi \right)\right\}}$

${\displaystyle =sin\pi -sin2\pi -sin0+sin\pi }$

${\displaystyle =0-0-0+0}$

${\displaystyle =0}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月2日