重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }2xcosydxdy}$　　${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6}\leqq y\leqq \frac{\pi }{2}\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle \underset{D}{\iint }2xcosydxdy}$

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する．

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left\{{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}2xcosydy\right\}dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}2x\cos ydy}$ の計算をする．${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left[2xsiny\right]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2xsin\frac{\pi }{2}-2xsin\frac{\pi }{6}\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2x·1-2x·\frac{1}{2}\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2x-x\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xdx}$

積分結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}·{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2-\frac{1}{2}·0^2}$

${\displaystyle =\frac{{\pi }^2}{8}-0}$

${\displaystyle =\frac{{\pi }^2}{8}}$

　

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最終更新日： 2023年8月2日