重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }rsin\theta drd\theta }$　　${\displaystyle \left(D:\frac{\pi }{3}\leqq \theta \leqq \pi ,0\leqq r\leqq 4\right)}$

■答

${\displaystyle 12}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle \theta }$ を定数とみなして ${\displaystyle r}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle \theta }$ で積分する．

■解説

${\displaystyle \underset{D}{\iint }rsin\theta drd\theta }$

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle r}$ と変数 ${\displaystyle \theta }$ の積分範囲を決定する．

${\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }\left\{{\int }_0^{4}rsin\theta dr\right\}d\theta }$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{4}r\sin \theta dr}$ を計算する．${\displaystyle \theta }$ を定数とみなして ${\displaystyle r}$ について積分する．

${\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }{\left[\frac{1}{2}{r}^{2}sin\theta \right]}_0^{4}d\theta }$

${\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }\left(\frac{1}{2}·4^{2}sin\theta -\frac{1}{2}·0^{2}sin\theta \right)d\theta }$

${\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }8sin\theta d\theta }$

重積分の基本公式から8をくくりだす．

${\displaystyle =8{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }sin\theta d\theta }$

積分結果を更に ${\displaystyle \theta }$ で積分する．

${\displaystyle =8{\left[-cos\theta \right]}_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }}$

${\displaystyle =8\left(-cos\pi +cos\frac{\pi }{3}\right)}$

${\displaystyle =8\left(1+\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle =8·\frac{3}{2}}$

${\displaystyle =12}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月2日