重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }xdxdy}$　　${\displaystyle \left(D:\frac{x}{2}+\frac{y}{4}\leqq 1,x\geqq 0,y\geqq 0\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{8}{3}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

領域 ${\displaystyle D}$ より

${\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{4}\leqq 1}$

${\displaystyle 2x+y\leqq 4}$

${\displaystyle y\leqq -2x+4}$

${\displaystyle y\geqq 0}$ を考慮すると

${\displaystyle 0\leqq y\leqq -2x+4}$

これを満たす ${\displaystyle x}$ の条件は

${\displaystyle -2x+4}$${\displaystyle \geqq 0}$

${\displaystyle -2x}$${\displaystyle \geqq -4}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle \leqq 2}$

${\displaystyle x\geqq 0}$ を考慮すると

${\displaystyle 0\leqq x\leqq 2}$

以上から領域 ${\displaystyle D}$ は

${\displaystyle D:0\leqq x\leqq 2,0\leqq y\leqq -2x+4}$

となる．よって

${\displaystyle \underset{D}{\iint }xdxdy}$${\displaystyle ={\int }_0^2\left({\int }_0^{-2x+4}xdy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{-2x+4}xdy}$ を計算する． ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する．

${\displaystyle ={\int }_0^2{\left[xy\right]}_0^{-2x+4}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left\{x·\left(-2x+4\right)-x·0\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left(-2x^2+4x\right)dx}$

重積分の基本公式から-2を積分記号の前にくくりだす. 

${\displaystyle =-2{\int }_0^2\left(x^2-2x\right)dx}$

更に${\displaystyle x}$で積分する

${\displaystyle =-2{\left[\frac{1}{3}{x}^3-x^2\right]}_0^2}$

${\displaystyle =-2\left\{\frac{1}{3}·2^3-2^2-\left(\frac{1}{3}·0^3-0^2\right)\right\}}$

${\displaystyle =-2\left(\frac{8}{3}-4\right)}$

${\displaystyle =-2·\frac{8-12}{3}}$

${\displaystyle =-2·\left(-\frac{4}{3}\right)}$

${\displaystyle =\frac{8}{3}}$

　

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最終更新日： 2023年8月3日