重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }xydxdy}$　　${\displaystyle \left(D:2x+\frac{y}{2}\leqq 1,x\geqq 0,y\geqq 0\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{24}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

領域 ${\displaystyle D}$ より

${\displaystyle 2x+\frac{y}{2}}$${\displaystyle \leqq 1}$

${\displaystyle \frac{y}{2}}$${\displaystyle \leqq -2x+1}$

${\displaystyle y}$${\displaystyle \leqq -4x+2}$

${\displaystyle y\geqq 0}$ を考慮すると

${\displaystyle 0\leqq y\leqq -4x+2}$

これを満たす ${\displaystyle x}$ の条件は

${\displaystyle -4x+2}$${\displaystyle \geqq 0}$

${\displaystyle -4x}$${\displaystyle \geqq -2}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle \leqq \frac{1}{2}}$

${\displaystyle x\geqq 0}$ を考慮すると

${\displaystyle 0\leqq x\leqq \frac{1}{2}}$

以上から領域 ${\displaystyle D}$ は

${\displaystyle D:0\leqq x\leqq \frac{1}{2},0\leqq y\leqq -4x+2}$

と書き換えられる．よって

${\displaystyle \underset{D}{\iint }xydxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{1}{2}}\left({\int }_0^{-4x+2}xydy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{-4x+2}xydy}$ を計算する．${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{1}{2}}{\left[\frac{1}{2}x{y}^2\right]}_0^{-4x+2}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{1}{2}x{\left(-4x+2\right)}^2-\frac{1}{2}x·0^2\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{1}{2}x\left(16x^2-16x+4\right)-0\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{1}{2}}\left(8x^3-8x^2+2x\right)dx}$

積分結果を更に${\displaystyle x}$で積分する． 

${\displaystyle ={\left[2x^4-\frac{8}{3}{x}^3+x^2\right]}_0^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^4-\frac{8}{3}·{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$${\displaystyle -\left(2·0^4+\frac{8}{3}·0^3+0^2\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{8}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-0}$

${\displaystyle =\frac{3-8+6}{24}}$

${\displaystyle =\frac{1}{24}}$

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最終更新日： 2023年8月3日