重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x^2+y^2\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:x+y\leqq 2,x\geqq 0,y\geqq 0\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{8}{3}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

領域 ${\displaystyle D}$ より

${\displaystyle x+y}$${\displaystyle \leqq 2}$

${\displaystyle y}$${\displaystyle \leqq -x+2}$

${\displaystyle y\geqq 0}$${\displaystyle 0\leqq y\leqq -x+2}$

を考慮すると

これを満たす ${\displaystyle x}$ の条件は

${\displaystyle -x+2}$${\displaystyle \geqq 0}$

${\displaystyle -x}$${\displaystyle \geqq -2}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle \leqq 2}$

${\displaystyle x\geqq 0}$ を考慮すると

${\displaystyle 0\leqq x\leqq 2}$

以上から領域 ${\displaystyle D}$ は

${\displaystyle D:0\leqq x\leqq 2,0\leqq y\leqq -x+2}$

と書き換えられる．よって

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x^2+y^2\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left({\int }_0^{-x+2}\left(x^2+y^2\right)dy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{-x+2}\left(x^2+y^2\right)dy}$ を計算する．${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^2{\left[x^{2}y+\frac{1}{3}{y}^3\right]}_0^{-x+2}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left(-\frac{4}{3}{x}^3+4x^2-4x+\frac{8}{3}\right)dx}$

更に ${\displaystyle x}$ で積分する． 

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{3}{x}^4+\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+\frac{8}{3}x\right]}_0^2}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3}·2^4+\frac{4}{3}·2^3-2·2^2+\frac{8}{3}·2}$${\displaystyle -\left(-\frac{1}{3}·0^4+\frac{4}{3}·0^3-2·0^2+\frac{8}{3}·0\right)}$

${\displaystyle =-\frac{16}{3}+\frac{32}{3}-8+\frac{16}{3}-0}$

${\displaystyle =\frac{-16+32-24+16}{3}}$

${\displaystyle =\frac{8}{3}}$

　

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最終更新日： 2023年8月3日