重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }sin\left(x+y\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:x+y\leqq \pi ,x\geqq 0,y\geqq 0\right)}$

■答

${\displaystyle \pi }$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

領域 ${\displaystyle D}$ より

${\displaystyle x+y}$${\displaystyle \leqq \pi }$

${\displaystyle y}$${\displaystyle \leqq -x+\pi }$

${\displaystyle y\geqq 0}$ を考慮すると

${\displaystyle 0\leqq y\leqq -x+\pi }$

これを満たす ${\displaystyle x}$ の条件は

${\displaystyle -x+\pi }$${\displaystyle \geqq 0}$

${\displaystyle -x}$${\displaystyle \geqq -\pi }$

${\displaystyle x}$${\displaystyle \leqq \pi }$

${\displaystyle x\geqq 0}$ を考慮すると

${\displaystyle 0\leqq x\leqq \pi }$

以上から領域 ${\displaystyle D}$ は

${\displaystyle D:0\leqq x\leqq \pi ,0\leqq y\leqq -x+\pi }$

と書き換えられる．よって

${\displaystyle \underset{D}{\iint }sin\left(x+y\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left({\int }_0^{-x+\pi }sin\left(x+y\right)dy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{-x+\pi }\sin \left(x+y\right)dy}$ を計算する．${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{\left[-cos\left(x+y\right)\right]}_0^{-x+\pi }dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left(-cos\pi +cosx\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left(1+cosx\right)dx}$

を更に${\displaystyle x}$で積分する． 

${\displaystyle ={\left[x+sinx\right]}_0^{\pi }}$

${\displaystyle =\pi +sin\pi -\left(0+sin0\right)}$

${\displaystyle =\pi +0-0}$

${\displaystyle =\pi }$

　

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最終更新日： 2023年8月3日