重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(4-x-y\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq 2,-x\leqq y\leqq x\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{32}{3}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

領域 ${\displaystyle D}$ の範囲より

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(4-x-y\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left({\int }_{-x}^x\left(4-x-y\right)dy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{-x}^x\left(4-x-y\right)dy}$ を計算する．${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$ について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^2{\left[4y-xy-\frac{1}{2}{y}^2\right]}_{-x}^{x}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left(-2x^2+8x\right)dx}$

重積分の基本公式 から-2を積分記号の前にくくりだす． 

${\displaystyle =-2{\int }_0^2\left(x^2-4x\right)dx}$

更に${\displaystyle x}$で積分する． 

${\displaystyle =-2{\left[\frac{1}{3}{x}^3-2x^2\right]}_0^2}$

${\displaystyle =-2\left(\frac{8}{3}-8-0\right)}$

${\displaystyle =-2·\frac{8-24}{3}}$

${\displaystyle =-2·\left(-\frac{16}{3}\right)}$

${\displaystyle =\frac{32}{3}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月19日