重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

∬ D ( x−y ) 2 dxdy 　　 ( D:| x+2 |≦1,| x−2y |≦1 )

■答

7 3

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する．

次に， x を定数とみなして y について積分し，その結果を更に x で積分する．

■解説

領域 D より

| x+2 | ≦1

−1≦x+2 ≦1

−3≦x≦−1


| x−2y | ≦1

−1≦x−2y ≦1

−x−1≦−2y ≦−x+1

1 2 x+ 1 2 ≧y ≧ 1 2 x− 1 2

1 2 x− 1 2 ≦y ≦ 1 2 x+ 1 2

以上から領域 D は

D:−3≦x≦−1， 1 2 x− 1 2 ≦y≦ 1 2 x+ 1 2

となる．よって

∬ D ( x − y ) 2 d x d y

重積分する関数を展開する． 

= ∬ D ( x 2 − 2 x y + y 2 ) d x d y

= ∫ − 3 − 1 ( ∫ 1 2 x − 1 2 1 2 x + 1 2 ( x 2 − 2 x y + y 2 ) d y ) d x

まず， ∫ 1 2 x− 1 2 1 2 x+ 1 2 x 2 −2xy+ y 2 dy を積分する． x を定数とみなして y で積分する． 

= ∫ − 3 − 1 [ x 2 y − x y 2 + 1 3 y 3 ] 1 2 x − 1 2 1 2 x + 1 2 d x

= ∫ − 3 − 1 [ x 2 ( 1 2 x + 1 2 ) − x ( 1 2 x + 1 2 ) 2 + 1 3 ( 1 2 x + 1 2 ) 3

− { x 2 ( 1 2 x − 1 2 ) − x ( 1 2 x − 1 2 ) 2 + 1 3 ( 1 2 x − 1 2 ) 3 } ] d x

= ∫ − 3 − 1 [ 1 2 x 3 + 1 2 x 2 − ( 1 2 ) 2 x ( x + 1 ) 2 + ( 1 2 ) 3 · 1 3 ( x + 1 ) 3

− { 1 2 x 3 − 1 2 x 2 − ( 1 2 ) 2 x ( x − 1 ) 2 + ( 1 2 ) 3 · 1 3 ( x − 1 ) 3 } ] d x

= ∫ − 3 − 1 [ 1 2 x 3 + 1 2 x 2 − 1 4 x ( x 2 + 2 x + 1 ) + 1 8 · 1 3 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 )

− { 1 2 x 3 − 1 2 x 2 − 1 4 x ( x 2 − 2 x + 1 ) + 1 8 · 1 3 ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 ) } ] d x

= ∫ − 3 − 1 [ 1 2 x 3 + 1 2 x 2 − 1 4 x 3 − 1 2 x 2 − 1 4 x + 1 24 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 )

− { 1 2 x 3 − 1 2 x 2 − 1 4 x 3 + 1 2 x 2 − 1 4 x + 1 24 ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 ) } ] d x

= ∫ − 3 − 1 { 1 2 x 3 − 1 4 x 3 − 1 4 x + 1 24 x 3 + 1 8 x 2 + 1 8 x + 1 24

− ( 1 2 x 3 − 1 4 x 3 − 1 4 x + 1 24 x 3 − 1 8 x 2 + 1 8 x − 1 24 ) } d x

= ∫ − 3 − 1 ( 1 2 x 3 − 1 4 x 3 − 1 4 x + 1 24 x 3 + 1 8 x 2 + 1 8 x + 1 24

− 1 2 x 3 + 1 4 x 3 + 1 4 x − 1 24 x 3 + 1 8 x 2 − 1 8 x + 1 24 ) d x

= ∫ − 3 − 1 ( 1 8 x 2 + 1 24 + 1 8 x 2 + 1 24 ) d x

= ∫ − 3 − 1 ( 1 4 x 2 + 1 12 ) d x

重積分の公式から 1 4 を積分記号の前にくくりだす． 

= 1 4 ∫ − 3 − 1 ( x 2 + 1 3 ) d x

更に x で積分する． 

= 1 4 [ 1 3 x 3 + 1 3 x ] − 3 − 1

= 1 12 [ x 3 + x ] − 3 − 1

= 1 12 [ ( − 1 ) 3 − 1 − { ( − 3 ) 3 − 3 } ]

= 1 12 { − 1 − 1 − ( − 27 − 3 ) }

= 1 12 ( − 2 + 27 + 3 )

= 1 12 · 28

= 7 3

　

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最終更新日： 2023年8月3日