重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x+2\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:-1\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq x^2+1\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{16}{3}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に，${\displaystyle x}$を定数とみなして ${\displaystyle y}$について積分し，その結果を更に${\displaystyle x}$で積分する．

■解説

領域${\displaystyle D}$より

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x+2\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_{-1}^1\left({\int }_0^{x^2+1}\left(x+2\right)dy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{x^2+1}\left(x+2\right)dy}$ を計算する．${\displaystyle x}$を定数とみなして${\displaystyle y}$について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\left[xy+2y\right]}_0^{x^2+1}dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-1}^1\left(x^3+x+2x^2+2-0\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-1}^1\left(x^3+2x^2+x+2\right)dx}$

更に${\displaystyle x}$で積分する． 

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+2x\right]}_{-1}^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+2-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2}$

${\displaystyle =\frac{4}{3}+4}$

${\displaystyle =\frac{4+12}{3}}$

${\displaystyle =\frac{16}{3}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月3日