重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(2xy+3y^2\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:x^2\leqq y\leqq x\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{4}{21}}$

■ヒント

はじめに領域 ${\displaystyle D}$ を作図し， ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

領域 ${\displaystyle D}$は

${\displaystyle x^2\leqq y\leqq x}$

であることより

曲線  ${\displaystyle y=x^2}$　･･････(1)

直線  ${\displaystyle y=x}$　･･････(2)

で囲まれた領域である． (1)，(2) の交点を求めると，

${\displaystyle x^2=x}$

${\displaystyle x^2-x=0}$

${\displaystyle x\left(x-1\right)=0}$

${\displaystyle x=0,1}$

${\displaystyle y=x}$ の関係から交点は ${\displaystyle \left(0,0\right),\left(1,1\right)}$ の2点となる．

領域${\displaystyle D}$を作図すると図のようになる．

これより積分範囲を決定すると

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(2xy+3y^2\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left({\int }_{x^2}^x\left(2xy+3y^2\right)dy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{x^2}^x\left(2xy+3y^2\right)dy}$ を計算する．${\displaystyle x}$を定数とみなして${\displaystyle y}$について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^1{\left[x{y}^2+y^3\right]}_{x^2}^{x}dx}$

指数法則を利用する． 

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{x^3+x^3-\left(x·x^4+x^6\right)\right\}dx}$

更に ${\displaystyle x}$ で積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{2x^3-\left(x^5+x^6\right)\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left(2x^3-x^5-x^6\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left(-x^6-x^5+2x^3\right)dx}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{7}{x}^7-\frac{1}{6}{x}^6+\frac{1}{2}{x}^4\right]}_0^1}$

${\displaystyle =-\frac{1}{7}·1^7-\frac{1}{6}·1^6+\frac{1}{2}·1^4}$

${\displaystyle -\left(-\frac{1}{7}·0^7-\frac{1}{6}·0^6+\frac{1}{2}·0^4\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{7}-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{-6-7+21}{42}}$

${\displaystyle =\frac{8}{42}}$

${\displaystyle =\frac{4}{21}}$

　

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最終更新日： 2023年8月3日